¿Cómo resolver la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple con gravedad?

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje y, y además está en presencia de la gravedad, su ecuación diferencial es la siguiente:

$$\ddot{y}+\omega^{2}y=g$$

Esta es una ecuación diferencial no homogénea y la vamos a resolver por el método de variación de parámetros.

Para este método necesitamos resolver la ecuación diferencial homogenea:

$$\ddot{y}+\omega^{2}y=0$$

Que ya la hemos resuelto en este enlace aunque resuelta con la coordenada $x$, pero eso no va a importar, porque va a ser la misma solución, solo que cambiamos de $x$ a $y$:

$$y(t)=c_{1}cos(\omega t)+c_{2}sen(\omega t)$$

Para resolver la ecuación diferencial debemos hallar el wronskiano:

$$W(f(t),g(t))=\begin{vmatrix}f(t) & g(t)\\f'(t) & g'(t)\end{vmatrix}$$
Identificamos las funciones $f(t)=c_{1}cos(\omega t)$ y $g(t)=c_{2}sen(\omega t)$, hallamos las derivadas $f'(t)=-c_{1}\omega sen(\omega t)$ y $g'(t)=c_{2}\omega cos(\omega t)$, reemplazamos en nuestro Wronskiano:

$$W(c_{1}cos(\omega t),c_{2}sen(\omega t))=\begin{vmatrix}c_{1}cos(\omega t) & c_{2}sen(\omega t)\\-c_{1}\omega sen(\omega t) & c_{2}\omega cos(\omega t)\end{vmatrix}$$
Si el determinante es diferente de cero, luego las soluciones son linealmente independientes:
$$W(c_{1}cos(\omega t),c_{2}sen(\omega t))=\begin{vmatrix}c_{1}cos(\omega t) & c_{2}sen(\omega t)\\-c_{1}\omega sen(\omega t) & c_{2}\omega cos(\omega t)\end{vmatrix}$$
$$=(c_{1}cos(\omega t))(c_{2}\omega cos(\omega t))-(c_{2}sen(\omega t))(-c_{1}\omega sen(\omega t))$$
$$=\omega c_{1}c_{2} cos^{2}(\omega t)+\omega c_{1}c_{2}sen^{2}(\omega t)=\omega c_{1}c_{2}(cos^{2}(\omega t)+sen^{2}(\omega t))$$

$$=\omega c_{1}c_{2}$$

Luego el determinante nos da diferente de cero.
La variación de parámetros nos dice que para hallar la solución $y_p$ debemos integrar los términos:
$$u'_1=-\frac{y_2h(x)}{W} \quad u'_2=-\frac{y_1h(x)}{W}$$
Donde $y_1=c_{1}cos(\omega t)$ y $y_2=c_{2}sen(\omega t)$ y $h(x)=g$ (El término que hace no homogénea a nuestra ecuación diferencial $\ddot{y}+\omega^{2}y=g$ y $W$ es el resultado del determinante (Wronskiano)
Calculamos $u'_1$ y $u'_2$ :
$$u'_1=-\frac{c_{2}sen(\omega t)}{\omega c_{1}c_{2}} \quad u'_2=\frac{c_{1}cos(\omega t)}{\omega c_{1}c_{2}}$$

Integramos:
$$u_1=\int -\frac{c_{2}sen(\omega t)}{\omega c_{1}c_{2}}dx \quad u_2=\frac{c_{1}cos(\omega t)}{\omega c_{1}c_{2}}dx$$
Y obtenemos las soluciones de las integrales:
$$u_1=\frac{g}{c_1 \omega^{2}}cos(\omega t)$$
$$u_2=\frac{g}{c_1 \omega^{2}}sen(\omega t)$$
La solución particular es de la forma:
$$y_p=u_1y_1+u_2y_2$$
$$y_p=\frac{g}{\omega^{2}}$$
Y la solución de la ecuación diferencial no homogénea es:
$$y=y_c+y_p$$
$$y(t)=c_{1}cos(\omega t)+c_{2}sen(\omega t)+\frac{g}{\omega^{2}}$$

Y siguiendo un procedimiento igual para el caso del oscilador armónico tendremos la solución de la forma:

$$y(t)=Asen(\omega t+\phi)+\frac{g}{\omega^{2}}$$