Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

 La integral que queremos solucionar es la siguiente: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y-\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}}}\] La expresión dentro de la raíz cuadrada se puede escribir cómo: \[-\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}+\frac{mg}{E}y+1=-\left(\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}-\frac{mg}{E}y-1\right)\] \[=-\left[\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{2E}\sqrt{\frac{2E}{k}}\right)^{2}-\left(1+\left(\frac{mg}{E}\right)^{2}\frac{2E}{4k}\right)\right]\] \[=\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)-\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{\sqrt{2Ek}}\right)^{2}\] Luego la integral queda de la forma: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)-\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{\sqrt{2Ek}}\right)^{2}}}\] Factorizamos $\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)$: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)}\sqrt{1-\frac{\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{\sqrt{2Ek}}\right)^{2}}{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)}}}\] Ahora s...

Del curso de Cálculo Integral aprendemos que las integrales de tipo arcoseno u arcocoseno son de la forma: \[\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}=arcsen(u)\] ó \[\int -\frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}=arccos(u)\] Hasta es posible ver dicha integral de un poco más complicada sin importar que sea positiva (arcoseno) u negativa (arcocoseno): \[\int \pm \frac{f'(u)du}{\sqrt{1-[f(u)]^{2}}}\] Sólo en esos casos podemos conocer algunas integrales que podemos resolver, pero existen otras integrales que con un cambio de variable, u organización de términos especifico, puede darnos en términos de arcoseno u arcocoseno, un ejemplo puede ser el siguiente: \[\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}\] Acá simplemente dentro de la raíz cuadrada debemos dejarlo de la forma: 1-término al cuadrado para que nos quede fácil de identificar, y así se pueda hacer fácil la integración: \[\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}\left(1-\frac{u^{2}}{a^{2}}\right)}}\] El término $a^{2}$, sale de la raíz cuadrada como $a$,  \[\frac{1}{a}\int...