Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 17 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación diferencial a resolver es: \[\frac{dy}{dx}=e^{2x}+(1+2e^{x})y+y^{2}\] Con la solución conocida $y_1=-e^{x}$ Identificamos $P(x)=e^{2x}$, $Q(x)=1+2e^{x}$ y $R(x)=1$ Luego la ecuación diferencial con solución conocida $y_1$ es: \[\frac{dy_1}{dx}=e^{2x}+(1+2e^{x})y_1+y_1^{2}\] Y la ecuación diferencial a resolver es: \[\frac{du}{dx}-(1+2e^{x}+(-2e^{x})(1))u=(1)u^{2}\] Queda: \[\frac{du}{dx}-u=u^{2}\] Esta ecuación diferencial se puede convertir en una ecuación diferencial lineal de primer orden en virtud del cambio de variable $w=\frac{1}{u}$: \[\frac{dw}{dx}+w=-1\] Calculamos el factor integrante: \[\mu(x)=e^{\int dx}=e^{x}\] Multiplicamos por nuestro factor integrante la ecuación diferencial: \[e^{x}\frac{dw}{dx}+e^{x}w=-e^{x}\] Los térmi...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 18 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. Nuestra ecuación diferencial a resolver es: \[\frac{dy}{dx}=sec^{2}(x)-tan(x)y+y^{2}\] y su solución conocida es $y_1=tan(x)$ Identificamos las funciones $P(x)=sec^{2}(x)$, $Q(x)=-tan(x)$ y $R(x)=1$ Luego la ecuación diferencial con solución conocida $y_1$ es: \[\frac{dy_1}{dx}=sec^{2}(x)-tan(x)y_1+y_1^{2}\] Y la ecuación diferencial a resolver es: \[\frac{du}{dx}-(-tan(x)+2tan(x)(1))u=u^{2}(1)\] Queda: \[\frac{du}{dx}-tan(x)u=u^{2}\] Esta ecuación diferencial se puede convertir a una ecuación diferencial de primer orden lineal en virtud del cambio de variable $w=\frac{1}{u}$: \[\frac{dw}{dx}+tan(x)w=-1\] Calculamos el factor integrante: \[\mu(x)=e^{\int tan(x)dx}\] De acuerdo a la integral de tangente de x , el factor integrante toma la siguiente for...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 12 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. Nos piden que se convierta la ecuación diferencial: \[\frac{du}{dx}-(Q(x)+2y_1R(x))u=R(x)u^{2}\] A una ecuación diferencial lineal; esta ecuación diferencial viene de decir que la ecuación diferencial de Ricatti se puede expresar como la suma de dos funciones $y_1$ y $u$, donde $y_1$  es la solución conocida, y $u$ satisface la ecuación de Bernoulli con $n=2$ que vamos a colocar en términos de una ecuación lineal de primer orden. Dividimos toda la ecuación diferencial por $u^{2}$: \[u^{-2}\frac{du}{dx}-(Q(x)+2y_1R(x))u^{-1}=R(x)\] Realizamos un cambio de variable de la forma $w=u^{-1}$ y su respectiva derivada será $dw=-u^{-2}du$, que para poder realizar el cambio de variable expresamos como $-dw=u^{-2}du$: \[-\frac{dw}{dx}-(Q(x)+2y_1R(x))w=R(x)\] Esta ...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 11 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación de Ricatti es una ecuación diferencial no lineal de la forma: \[\frac{dy}{dx}=P(x)+Q(x)y+R(x)y^{2}\] Luego si $y_{1}$ es una solución particular conocida de la ecuación de Ricatti, demuestre que $y=y_{1}+u$ es una familia de funciones de la ecuación diferencial de Ricatti, en donde $u$ es la solución de: \[\frac{du}{dx}-(Q(x)+2y_{1}R(x))u=R(x)u^{2}\] De acuerdo a la solución $y$ expresada en términos de $y_1$ y $u$, realizamos la derivada a primer orden: \[\frac{dy}{dx}=\frac{dy_1}{dx}+\frac{du}{dx}\] Reemplazamos dicho resultado en la ecuación diferencial de Ricatti: \[\frac{dy_1}{dx}+\frac{du}{dx}=P(x)+Q(x)(y_1+u)+R(x)(y_1+u)^{2}\] Desarrollando el binomio al cuadrado del ultimo término y distribuyendo nos queda: \[\frac{dy_1}{dx}+\frac{du}{dx}...