Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

Nuestra integral que queremos resolver por partes es la siguiente: \[\int e^{y}ydy\] Esta integral se resuelve aplicando  Uniforme de Vaca es para Una Vaca Vestida de Uniforme, que en forma matemática es la siguiente expresión: \[\int UdV=UV-\int VdU\] Para resolver fácil la integral escogemos $U=y$, su respectiva derivada $dU=dy$, $dV=e^{y}dy$ y su respectiva integral es $e^{y}$ La integral se transforma en: \[\int e^{y}ydy=ye^{y}-\int e^{y}dy\] \[\int  e^{y}ydy=ye^{y}-e^{y}+C_{1}\] Sacando factor común: \[\int  e^{y}ydy=e^{y}(y-1)+C_{1}\] Obtenemos respuesta a nuestra integral.

La integral que queremos hallar es la siguiente: \[\int ln(y)dy\] Debemos aplicar integración por partes: Uniforme de Vaca es para Una Vaca Vestida de Uniforme : \[\int UdV=UV-\int VdU\] Acá $U=ln(y)$, $dU=\frac{1}{y}dy$, y $dV=dy$, $V=y$, aplicamos el procedimiento respectivo de integración por partes obteniendo: \[\int ln(y)dy=yln(y)-\int \frac{1}{y}ydy=yln(y)-\int dy\] Obtenemos el resultado: \[\int ln(y)dy=yln(y)-y+C\] Sacando factor común llegamos finalmente a la integral de logaritmo natural: \[\int ln(y)dy=y(ln(y)-1)+C\]

Nuestro problema ahora es hallar la integral a la función arcotangente: \[\int arctan(w)dw\] Debemos aplicar integración por partes: Uniforme de Vaca es para Una Vaca Vestida de Uniforme : \[\int UdV=UV-\int VdU\] Acá $U=arctan(w)$, su derivada es: $dU=\frac{1}{1+w^{2}}$, y $dV=dw$, su integral es: $V=w$, aplicamos de acuerdo a la integración por partes: \[\int arctan(w)dw=w \cdot arctan(w)-\int \frac{w}{1+w^{2}}dw\] Para la última integral utilizamos una sustitución, sí $p=1+w^{2}$, $dp=2wdw$, entonces $\frac{dp}{2}=wdw$, y la respectiva integral queda como: \[\frac{1}{2}\int \frac{dp}{p}=\frac{1}{2}ln(p)+C\] Deshacemos la sustitución: \[\frac{1}{2}ln(1+w^{2})+C\] Reemplazamos este resultado para obtener el resultado de la integral arcotangente: \[\int arctan(w)dw=w \cdot arctan(w)-\frac{1}{2}ln(1+w^{2})+C\] Finalmente obteniendo el resultado deseado.