Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

Nos piden simplificar la siguiente solución de una ecuación diferencial (aunque es válido para simplificar muchas expresiones, sólo que acá muestro el respectivo procedimiento): \[y=C_1e^{i3x}+C_2e^{-i3x}\] Aplicamos la identidad de Euler: \[e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta\] La solución queda de la forma: \[y=C_1(cos(3x)+isen(3x))+C_2(cos(-3x)+isen(-3x))\] Donde $cos(-3x)=cos(3x)$ y $sen(-3x)=-sen(3x)$: \[y=C_1(cos(3x)+isen(3x))+C_2(cos(3x)-isen(3x))\] Distribuimos y factorizamos $cos(3x)$ y $sen(3x)$: \[y=C_1(cos(3x)+isen(3x))+C_2(cos(3x)-isen(3x))\] \[y=C_1cos(3x)+iC_1sen(3x)+C_2cos(3x)-iC_2sen(3x)\] \[y=(C_1+C_2)cos(3x)+(iC_1-iC_2)sen(3x)\] Renombramos las constantes: $(C_1+C_2)=c_1$ y $(iC_1-iC_2)=c_2$, y por lo tanto la solución queda reducida a la forma: \[y=c_1cos(3x)+c_2sen(3x)\]