Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

 A petición de una suscriptora, vamos a resolver la siguiente ecuación diferencial exacta: \[\left[sen(y)+\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]dx+\left[xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]dy=0\]  Con respuesta R: $xsen(y)+cos\left(\frac{y}{x}\right)=c$ Para este caso ya nos dan la respuesta, pero igualmente es bueno comprobar que la ecuación diferencial es exacta, de acuerdo a la forma canónica que tienen: \[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\] Se debe cumplir que \[\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}\] Con $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$ Así: \[\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\] Comparando con nuestra ecuación diferencial \[\left[sen(y)+\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]=M(x,y) \wedge \left[xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]=N(x,y)\] Calculamos sus derivadas parciales: \[\frac{\partial M(x,y)}{\partia...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 22 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Hallar el valor de $n$ para el cuál cada una de las ecuaciones siguientes es exacta y resolver para ese valor de $n$: b) $(x+ye^{2xy})dx+(nxe^{2xy})dy=0$ Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente: \[\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}\] O como normalmente se muestra: \[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\] Corresponde a la ecuación diferencial: \[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\] Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$ El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso). Calculamos la derivada parcia...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 22 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Hallar el valor de $n$ para el cuál cada una de las ecuaciones siguientes es exacta y resolver para ese valor de $n$: a) $(xy^{2}+nx^{2}y)dx+(x^{3}+x^{2}y)dy=0$ Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente: \[\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}\] O como normalmente se muestra: \[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\] Corresponde a la ecuación diferencial: \[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\] Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$ El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso). Calculamos la derivada...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 11 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Determinar si la ecuación es exacta y resolverla \[dx=\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}dx+\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}dy\] Primero debemos igualar a cero para poder calcular las respectivas derivadas y tendremos: \[\left(\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}-1\right)dx+\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}dy=0\] Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente: \[\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}\] O como normalmente se muestra: \[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\] Corresponde a la ecuación diferencial: \[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\] Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$ El problema es hallar la función $f$ que...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 7 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Determinar si la ecuación es exacta y resolverla \[(sen(x)sen(y)-xe^{y})dy=(e^{y}+cos(x)cos(y))dx\] Primero debemos igualar a cero para poder calcular las respectivas derivadas y tendremos: \[-(e^{y}+cos(x)cos(y))dx+(sen(x)sen(y)-xe^{y})dy=0\] Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente: \[\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}\] O como normalmente se muestra: \[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\] Corresponde a la ecuación diferencial: \[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\] Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$ El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (co...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 6 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Determinar si la ecuación es exacta y resolverla \[cos(x)cos^{2}ydx+2sen(x)sen(y)cos(y)dy=0\] Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente: \[\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}\] O como normalmente se muestra: \[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\] Corresponde a la ecuación diferencial: \[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\] Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$ El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso). Calculamos la derivada parcial de $M$ respecto a $y$, del problema que vamos a intentar so...