¿Cómo resolver la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple?

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje x, y su ecuación diferencial es la siguiente:

$$\ddot{x}+\omega^{2}x=0$$

Podemos ver que la ecuación corresponde a una ecuación diferencial homogénea, así que proponemos una solución de la forma $x=e^{mt}$ y hallamos sus derivadas $\dot{x}=me^{mt}$, $\ddot{x}=m^{2}e^{mt}$, reemplazamos en nuestra ecuación diferencial:
$$m^{2}e^{mt}+\omega^{2}e^{mt}=0$$
Sacando factor común $e^{mt}$:
$$e^{mt}(m^{2}+\omega^{2})=0$$
Donde $e^{mt}$ no puede ser cero, entonces lo será el termino entre parentesis y hallamos sus respectivas raíces:
$$m^{2}+\omega^{2}=0$$
Donde las soluciones son imaginarias y corresponden a:
$$m_1=i\omega \quad m-2=-i\omega$$
La solución queda expresada como:
$$x(t)=e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}$$
Aplicamos la identidad de Euler para simplificar mas elegante esta solución:
$$e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta$$
Nos queda ahora expresada así la solución:
$$x(t)=c_1 cos(\omega t)+c_2 sen(\omega t)$$
Multiplicamos por $1$ de la siguiente forma:
$$x(t)=\frac{Ac_1}{A} cos(\omega t)+\frac{Ac_2}{A} sen(\omega t)$$
Sí $A=\sqrt{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}$, podemos relacionar las contantes con el siguiente triángulo (Así lo definen en el libro de Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de Zill, segunda edición)

Así podemos deducir las siguientes razones trigonométricas respecto al angulo $\phi$:
$$sen\phi=\frac{c_1}{\sqrt{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}$$
$$cos\phi=\frac{c_2}{\sqrt{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}$$
Así la solución toma esta nueva forma:
$$x(t)=Asen(\phi) cos(\omega t)+Acos(\phi) sen(\omega t)$$
Si sacamos factor común $A$, correspondera a la identidad para ángulo doble del seno, así llegamos a expresar la solución como:
$$x(t)=Asen(\omega t+\phi)$$