Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

 La integral que queremos solucionar es la siguiente: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y-\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}}}\] La expresión dentro de la raíz cuadrada se puede escribir cómo: \[-\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}+\frac{mg}{E}y+1=-\left(\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}-\frac{mg}{E}y-1\right)\] \[=-\left[\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{2E}\sqrt{\frac{2E}{k}}\right)^{2}-\left(1+\left(\frac{mg}{E}\right)^{2}\frac{2E}{4k}\right)\right]\] \[=\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)-\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{\sqrt{2Ek}}\right)^{2}\] Luego la integral queda de la forma: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)-\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{\sqrt{2Ek}}\right)^{2}}}\] Factorizamos $\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)$: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)}\sqrt{1-\frac{\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{\sqrt{2Ek}}\right)^{2}}{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)}}}\] Ahora s...

La integral que vamos a resolver es la siguiente: \[\int sec(x)dx\] Para poder realizar la integral de esta función vamos a multiplicar por $sec(x)+tan(x)$ arriba y abajo, que es equivalente a multiplicar por $1$: \[\int sec(x)\frac{sec(x)+tan(x)}{sec(x)+tan(x)}dx\] Distribuyendo: \[\int \frac{sec^{2}(x)+sec(x)tan(x)}{sec(x)+tan(x)}dx\] Luego podemos realizar el siguiente cambio de variable, sí $u=sec(x)+tan(x)$, por lo tanto $du=sec(x)tan(x)+sec^{2}(x)$, por lo tanto nos queda la integral que da como resultado en términos de un logaritmo natural: \[\int \frac{du}{u}=ln(u)+C\] Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la respuesta a nuestra integral: \[\int sec(x)dx=ln(sec(x)+tan(x))+C\]

La integral que queremos resolver es la siguiente: \[\int tan(x)dx\] Podemos expresarla de acuerdo a la razón trigonométrica $tan(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}$: \[\int \frac{sen(x)}{cos(x)}dx\] Podemos hacer una sustitución $u=cos(x)$, $du=-sen(x)$, pasamos el menos al otro lado $-du=sen(x)$ Y nos queda la siguiente integral, que corresponde a un logaritmo natural: \[-\int \frac{du}{u}=-ln(u)+C\] Que por propiedades de los logaritmos: \[-ln(u)+C=ln(u^{-1})+C\] Deshacemos el cambio de variable y finalmente encontramos la respuesta a nuestra integral: \[\int tan(x)dx=ln(cos(x)^{-1})+C\] \[\int tan(x)dx=ln(sec(x))+C\]

Nuestra integral a resolver es la siguiente: \[\int \frac{d(x^{2}+y^{2})}{2(x^{2}+y^{2})}\] Podemos realizar el siguiente cambio de variable $u=x^{2}+y^{2}$, $du=d(x^{2}+y^{2})$, debido a que este término corresponde con la derivada del denominador, así transformamos esta integral en: \[\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}ln(u)+C\] Deshacemos el cambio de variable: \[\frac{1}{2}ln(u)+C=\frac{1}{2}ln(x^{2}+y^{2})+C\] Aplicamos propiedades de logaritmos: \[\frac{1}{2}ln(x^{2}+y^{2})+C=ln(x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{2}}\] Que corresponde con una raíz cuadrada: \[ln(x^{2}+y^{2})^{frac{1}{2}}=ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}+C\] Así finalmente tenemos la respuesta a nuestra integral: \[\int \frac{d(x^{2}+y^{2})}{2(x^{2}+y^{2})}=ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}+C\]

La integral que queremos resolver es la siguiente: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}}\] Realizamos un cambio de variable de la forma $u=1+\frac{mg}{E}y$, $du=\frac{mg}{E}dy$, luego $\frac{E}{mg}du=dy$, así nuestra integral toma la forma: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\frac{E}{mg} \int\frac{du}{\sqrt{u}}\] Que se reduce a una sencilla integral: \[\sqrt{\frac{E}{2m}}\frac{1}{g} \int\frac{du}{(u)^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{\frac{E}{2m}}\frac{1}{g} \int (u)^{\frac{-1}{2}}du\] Que corresponde a la siguiente respuesta: \[\sqrt{\frac{2E}{mg^{2}}}(u)^{\frac{1}{2}}+C\] Deshacemos el cambio de variable para llegar finalmente al resultado de nuestra integral: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}}=\sqrt{\frac{2E}{mg^{2}}}\left(1+\frac{mg}{E}y\right)^{\frac{1}{2}}+C\] \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}}=\sqrt{\frac{2E}{mg^{2}}}\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}+C\]

La integral que queremos resolver es la siguiente: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}\] Realizamos un cambio de variable de la siguiente forma: \[\frac{k}{2E}x^{2}=y^{2}\] Para poder hallar la derivada sacamos raíz cuadrada a ambos términos: \[\sqrt{\frac{k}{2E}}x=y\] Sacamos las derivadas y obtenemos: \[\sqrt{\frac{k}{2E}}dx=dy\] Luego pasando el factor que multiplica el $dx$ al lado del dy: \[dx=\sqrt{\frac{2E}{k}}dy\] Por tanto la integral queda de la forma: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\sqrt{\frac{2E}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}\] \[\sqrt{\frac{m}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}\] Que corresponde a una integral de arcoseno, por lo tanto la respuesta nos queda como: \[\sqrt{\frac{m}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen(y)+C\] Deshaciendo el cambio de variable, obtenemos finalmente el resultado de nuestra integral: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcse...

Nuestra integral a resolver es la siguiente: \[\frac{E}{L}\int e^{\frac{R}{L}t}dt\] Con $E$, $R$ y $L$ constantes, Realizamos una sustitución de la forma $u=\frac{R}{L}t$, $du=\frac{R}{L}dt$, entonces $\frac{L}{R}du=dt$ Así la integral a resolver es la siguiente: \[\frac{L}{R}\int e^{u}du=\frac{L}{R}e^{u}\] Deshacemos el cambio de variable y tenemos la respuesta a nuestra integral: \[\frac{E}{L}\int e^{\frac{R}{L}t}dt=\frac{E}{R}e^{\frac{R}{L}t}\]

Nuestra integral a resolver está vez es la siguiente: \[\int sen(2x)dx\] Podemos realizar la siguiente sustitución $u=2x$, $du=2dx$, entonces $\frac{du}{2}=dx$, así la integral nos queda de la forma: \[\frac{1}{2}\int sen(u)du\] Que corresponde a una integral fundamental: \[\frac{1}{2}\int sen(u)du=-\frac{1}{2}cos(u)+C\] Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la respuesta a nuestra integral: \[-\frac{1}{2}cos(2x)+C\]

La integral que vamos a resolver en el día de hoy es la siguiente: \[\int cot(x)dx\] Esta integral la podemos expresar en términos de las funciones seno y coseno, debido a la razón trigonométrica $cot(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}$: \[\int \frac{cos(x)}{sen(x)}dx\] Ahora podemos realizar el siguiente cambio de variable $u=sen(x)$, $du=cos(x)dx$, y la nueva integral en términos de $u$ nos queda como: \[\int \frac{du}{u}\] Que corresponde a la integral que da como resultado la función $ln(u)$ (Para nuestro caso antes de realizar el cambio de variable) \[\int \frac{du}{u}=ln(u)+C\] Deshacemos el cambio de variable y tenemos la respuesta final a nuestra integral: \[\int cot(x)dx=\int \frac{cos(x)}{sen(x)}dx=ln(sen(x))+C\]

Nuestra integral que vamos a resolver es la siguiente: \[\int \frac{du}{(u-1)^{2}}\] Para la primera integral podemos realizar el siguiente cambio de variable $p=u-1$, $dp=du$, e integramos: \[\int \frac{dp}{p^{2}}=-\frac{1}{p}+C\] Deshacemos el cambio de variable y tenemos: \[-\frac{1}{p}+C=-\frac{1}{u-1}+C\] Que corresponde a la respuesta final de nuestra integral: \[\int \frac{du}{(u-1)^{2}}=-\frac{1}{u-1}+C_{1}\]

Nuestra integral que vamos a resolver es la siguiente: \[\int \frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx\] En este caso tenemos que realizar dos sustituciones para poder llegar al resultado, la primera sustitución es $u=3x$, $du=3dx$; entonces $\frac{du}{3}=dx$, y nuestra integral queda de la forma: \[\frac{1}{3}\int\frac{sen(u)}{cos^{3}(u)}du\] La siguiente sustitución a realizar es $v=cos(u)$, $dv=-sen(u)du$; entonces $-dv=sen(u)du$, y finalmente nuestra integral tiene la forma: \[-\frac{1}{3}\int \frac{dv}{v^{3}}\] Se puede expresar más sencillo para obtener su método de solución: \[-\frac{1}{3}\int v^{-3}=-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}v^{-2}\right)+C=\frac{1}{6}v^{-2}+C\] Deshacemos las sustituciones: \[\frac{1}{6}v^{-2}+C=\frac{1}{6v^{2}}+C=\frac{1}{6cos^{2}(3x)}+C=\frac{1}{6}sec^{2}(3x)+C\] Tenemos la respuesta a nuestra integral: \[\int \frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx=\frac{1}{6}sec^{2}(3x)+C\]

Nuestra integral que vamos a resolver es la siguiente: \[\int (e^{-x}+e^{-3x})dx\] Por linealidad de las integrales: \[\int e^{-x}dx+\int e^{-3x}dx\] Para la primera integral \[\int e^{-x}dx\] Realizamos una sustitución de la siguiente forma $u=-x$, $du=-dx$, $-du=dx$, así la integral toma la forma: \[-\int e^{u}du\] Como es una integral fundamental, tenemos el siguiente resultado de la integral: \[-e^{u}+c_1\] Deshacemos el cambio de variable para obtener la respuesta a la primera integral: \[\int e^{-x}dx=-e^{-x}+c_1\] Para la segunda integral \[\int e^{-3x}dx\] Realizamos una sustitución de la siguiente forma $v=-3x$, $dv=-3dx$, $-\frac{dv}{3}=dx$, así la integral toma la forma: \[-\frac{1}{3}\int e^{v}dv\] Que también corresponde a una integral fundamenta, integrando: \[-\frac{1}{3}e^{v}+c_{2}\] Deshacemos el cambio de variable para obtener la respuesta a la segunda integral: \[\int e^{-3x}dx=-\frac{1}{3}e^{-3x}+c_{2}\] Luego la respuesta a toda la integral es: ...