Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

 A petición de una suscriptora, el problema de hoy es resolver la siguiente ecuación diferencial homogénea de primer orden: \[\left[xycos\left(\frac{y}{x}\right)+x^{2}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]y'=y^{2}cos\left(\frac{y}{x}\right)\] Para simplificar el problema podemos dividir toda la expresión por $y^{2}cos\left(\frac{y}{x}\right)$, además de cambiar $y'=\frac{dy}{dx}$: \[\left[\frac{x}{y}+\frac{x^{2}}{y^{2}}cot\left(\frac{y}{x}\right)\right]\frac{dy}{dx}=1\] \[\left[\frac{x}{y}+\frac{x^{2}}{y^{2}}cot\left(\frac{y}{x}\right)\right]dy=dx\] Ahora realizamos el siguiente cambio de variable $y=ux$, y sus correspondientes derivadas $dy=udx+xdu$, luego se cumpliran las siguientes igualdades respecto del cambio de variable $u=\frac{y}{x}$, $\frac{1}{u}=\frac{x}{y}$ que reemplazaremos en nuestra ecuación diferencial para poder distribuir: \[\left[\frac{1}{u}+\frac{1}{u^{2}}cot\left(u\right)\right](udx+xdu)=dx\] \[dx+\frac{x}{u}du+\frac{cot(u)}{u}dx+\frac{x}{u^{2}}cot(u)du=dx\] A...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 47 de ecuaciones diferenciales de segundo orden homogeneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. El problema es el siguiente: Sean $y_{1}$ y $y_{2}$ dos soluciones de: \[a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}y=0\] (a) Sí $W(y_{1},y_{2})$ es el wronskiano de $y_{1}$ y $y_{2}$, demuestre que \[a_{2}(x)\frac{dW}{dx}+a_{1}(x)W=0\] Como $y_{1}$ y $y_{2}$ son soluciones de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden, luego también deben ser soluciones de las ecuaciones diferenciales: \[a_{2}(x)y_{1}''+a_{1}(x)y_{1}'+a_{0}y_{1}=0\] \[a_{2}(x)y_{2}''+a_{1}(x)y_{2}'+a_{0}y_{2}=0\] El wronskiano es de la forma: \[W(y_{1},y_{2})=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2}\\y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}\] \[W(y_{1},y_{2})=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'\] La derivada del Wronskiano es: \[\frac{dW}{dx}=(y_{1}y_{2}')'-(y_{2}y_{1}')'\...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 48 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. El problema es el siguiente: Suponga que $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ es una ecuación homogénea. Pruebe que las sustituciones $x=rcos\theta$ y $y=rsen\theta$ reducen la ecuación a una de variables separables Como $x=rcos\theta$, y $y=rsen\theta$ hallamos sus derivadas: \[dx=cos\theta dr-rsen\theta d\theta\] \[dy=sen\theta dr+rcos\theta d\theta\] Luego es posible realizar el cambio de variable con sus respectivas derivadas: \[M(rcos\theta,rsen\theta)(cos\theta dr-rsen\theta d\theta)+N(rcos\theta,rsen\theta)(sen\theta dr+rcos\theta d\theta)=0\] Debido a la homogeneidad de $M$ y $N$: \[rM(cos\theta,sen\theta)(cos\theta dr-rsen\theta d\theta)+rN(cos\theta,sen\theta)(sen\theta dr+rcos\theta d\theta)=0\] Separamos términos: \[rM(cos\theta,sen\theta)cos\theta dr-r^{2}M(cos\theta,sen...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 40 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación diferencial a resolver es la siguiente: \[ydx+x(ln(x)-ln(y)-1)dy=0\] Con condición inicial $y(1)=e$ (Las condiciones iniciales se utilizan para hallar la constante de integración). Los términos al lado de los diferenciales tienen grado $0$, por lo tanto es posible resolver la ecuación diferencial mediante el método de las ecuaciones diferenciales homogéneas. El cambio de variable para la ecuación diferencial es: \[u=yln(x)\] Calculamos sus derivadas: \[du=ln(x)dy+\frac{y}{x}dx\] Despejamos $\frac{y}{x}dx$: \[\frac{y}{x}dx=du-ln(x)dy\] Si dividimos nuestra ecuación diferencial por $x$, nos quedara de la forma: \[\frac{y}{x}dx+(ln(x)-ln(y)-1)dy=0\] Cambiamos el valor $\frac{y}{x}dx$ que obtuvimos anteriormente a nuestra ecuación diferencial, quedando ya separadas las...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 24 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación diferencial a resolver es la siguiente: \[\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\frac{x^{2}}{y^{2}}+1\] \[dy=\left(\frac{y}{x}+\frac{x^{2}}{y^{2}}+1\right)dx\] Los términos al lado de los diferenciales tienen grado $0$, por lo tanto es posible resolver la ecuación diferencial mediante el método de las ecuaciones diferenciales homogéneas. El cambio de variable para que sea una ecuación diferencial separable es: \[y=wx\] Aplicamos el cambio de variable: \[dy=\left(w+\frac{1}{w^{2}}+1\right)dx\] Calculamos la derivada de $y$ respecto al cambio de variable: \[dy=xdw+wdx\] Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial para luego separar variables: \[xdw-\left(\frac{1}{w^{2}}+1\right)dx=0\] \[\frac{dw}{\frac{1}{w^{2}}+1}=\frac{dx}{x}\] \[\frac{w^{2}dw}{1+w^{2}}=\frac{dx}{x}\] Integ...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 19 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación diferencial a resolver es la siguiente: \[-ydx+(x+\sqrt{xy})dy=0\] Los términos al lado de los diferenciales tienen grado $1$, por lo tanto es posible resolver la ecuación diferencial mediante el método de las ecuaciones diferenciales homogéneas. El cambio de variable para que sea una ecuación diferencial separable es: \[u=\frac{x}{y}\] Hallamos la derivada: \[du=\frac{ydx-xdy}{y^{2}}\] Despejamos $ydx$ \[ydx=y^{2}du+xdy\] \[-ydx=-y^{2}du-xdy\] Reemplazamos este resultado en nuestra ecuación diferencial, además el término de la raíz cuadrada queda $\sqrt{xy}=\sqrt{u}y$, la nueva ecuación diferencial será: \[-y^{2}du-\sqrt{u}ydy=0\] Dividiendo por $y$ toda la ecuación diferencial, finalmente podemos separar variables e integrar: \[-ydu-\sqrt{u}dy=0\] \[ydu+\sqrt{u...