Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

 En esta vez vamos a realizar la siguiente integral: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{5}\theta d\theta\] Vamos a aplicar el mismo método que aplicamos cuándo resolvimos la integral con la función $sen^{3}\theta$ : \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}(1-cos^{2}\theta)^{2}sen\theta d\theta\] Sí $u=cos\theta$, $du=-sen\theta d\theta$, $-du=sen\theta d\theta$, y los límites de integración quedarán de la misma forma que en la integración con $sen^{3}\theta$ , así nuestra integral y su respuesta quedan cómo (realizando la respectiva integral y su evaluación, se deja como ejercicio al lector): \[-\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}(1-u^{2})^{2}du=-\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}(1-2u^{2}+u^{4})du=\frac{28\sqrt{2}}{15}\]

Es nuestro turno de resolver la siguiente integral definida: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{4}\theta d\theta\] De acuerdo a lo visto en la publicación para una integración definida con $sen^{2}\theta$ : \[sen^{2}\theta=\frac{1-cos(2\theta)}{2}\] Así la función $sen^{4}\theta$ puede representarse como: \[sen^{4}\theta=(sen^{2})^{2}=\left(\frac{1-cos(2\theta)}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}-\frac{cos(2\theta)}{2}+\frac{cos(4\theta)}{8}\] Reemplazamos: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{4}\theta d\theta=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\left(\frac{3}{8}-\frac{cos(2\theta)}{2}+\frac{cos(4\theta)}{8}\right)d\theta\] Integramos y evaluamos, para darnos la siguiente respuesta: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{4}\theta d\theta=\frac{3\pi+8}{16}\]