Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

 A petición de una suscriptora, vamos a resolver la siguiente ecuación diferencial exacta: \[\left[sen(y)+\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]dx+\left[xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]dy=0\]  Con respuesta R: $xsen(y)+cos\left(\frac{y}{x}\right)=c$ Para este caso ya nos dan la respuesta, pero igualmente es bueno comprobar que la ecuación diferencial es exacta, de acuerdo a la forma canónica que tienen: \[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\] Se debe cumplir que \[\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}\] Con $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$ Así: \[\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\] Comparando con nuestra ecuación diferencial \[\left[sen(y)+\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]=M(x,y) \wedge \left[xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]=N(x,y)\] Calculamos sus derivadas parciales: \[\frac{\partial M(x,y)}{\partia...

Debido a la petición de una suscriptora y seguidora, he decidido realizar tres ejercicios referentes al tema de convolución que estarán explicados y desarrollados a continuación, eso sí, debo aclarar que son un poco largos, pero intentaré que sea lo más claro posible, comencemos con el primero de los ejercicios: (a) sean $\alpha$, $k$ dos constantes reales, encuentre una relación entre estas dos constantes de modo que se tenga la siguiente igualdad: \[e^{t}\ast cos(\alpha t)=k(e^{t}-cos(\alpha t)+\alpha sen(\alpha t))\] Recordamos que la convolución de dos funciones es igual a: \[f(t)\ast g(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau)d\tau\] y por lo tanto su transformada de Laplace: \[\mathscr{L}[f(t)\ast g(t)]=\mathscr{L}[f(t)]\mathscr{L}[g(t)]\] Así, que para nuestro caso aplicamos el anterior resultado y tenemos: \[\mathscr{L}[e^{t}\ast cos(\alpha t)]=\mathscr{L}[k(e^{t}-cos(\alpha t)+\alpha sen(\alpha t))]\] Primero nos vamos a ocupar de la parte izquierda de la igualdad,  \[\mathscr{L}[e^...