Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

Nuestra ecuación a resolver es la siguiente: \[\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=g\] Integramos respecto al tiempo: \[\int \frac{d^{2}x}{dt^{2}}dt=\int gdt\] La respuesta a esta integral es la siguiente: \[ \frac{dx}{dt}=gt+C\] Como $\frac{dx}{dt}$ corresponde a la velocidad, entonces podemos escribir la ecuación como sigue: \[ v(t)=gt+C\] Proponemos la siguiente condición inicial $v(0)=v_{0}$, y hallamos el valor de la constante: \[ v_{0}=C\] reemplazando y volviendo a nuestra ecuación diferencial resultante: \[ \frac{dx}{dt}=gt+v_{0}\] Volvemos a integrar: \[\int \frac{dx}{dt}dt=\int (gt+v_{0})dt\] Obtenemos que la variable $x$ va a depender del tiempo: \[x(t)=\frac{gt^{2}}{2}+v_{0}t+C\] Aplicamos la siguiente condición inicial $x(0)=x_{0}$, y tenemos el valor de la constante de integración: \[x_{0}=C\] Finalmente reemplazamos y llegamos a la solución de la ecuación diferencial: \[x(t)=\frac{gt^{2}}{2}+v_{0}t+x_{0}\]

Nuestra ecuación a resolver es la siguiente: \[\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=0\] Integramos respecto al tiempo: \[\int \frac{d^{2}x}{dt^{2}}dt=\int 0dt\] La respuesta a esta integral es la siguiente: \[ \frac{dx}{dt}=C\] Como $\frac{dx}{dt}$ corresponde a la velocidad, entonces podemos escribir la ecuación como sigue: \[ v(t)=C\] Proponemos la siguiente condición inicial $v(0)=v_{0}$, y hallamos el valor de la constante: \[ v_{0}=C\] reemplazando y volviendo a nuestra ecuación diferencial resultante: \[ \frac{dx}{dt}=v_{0}\] Volvemos a integrar: \[\int \frac{dx}{dt}dt=\int v_{0}dt\] Obtenemos que la variable $x$ va a depender del tiempo: \[x(t)=v_{0}t+C\] Aplicamos la siguiente condición inicial $x(0)=x_{0}$, y tenemos el valor de la constante de integración: \[x_{0}=C\] Finalmente reemplazamos y llegamos a la solución de la ecuación diferencial: \[x(t)=v_{0}t+x_{0}\]

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 56 de separación de variables del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación diferencial a resolver es la siguiente: \[\frac{dy}{dx}=1+e^{y-x+5}\] Sea $u=1+e^{y-x+5}$, luego: \[\frac{du}{dx}=\frac{dy}{dx}e^{y-x+5}-e^{y-x+5}\] Sacamos factor común: \[\frac{du}{dx}=e^{y-x+5}\left(\frac{dy}{dx}-1\right)\] Luego $e^{y-x+5}=u-1$ y $\frac{dy}{dx}$ corresponde a nuestra ecuación diferencial, tenemos ahora la nueva ecuación diferencial debido a la sustitución: \[\frac{du}{dx}=(u-1)^{2}\] Realizamos la separación de variables e integramos: \[\int \frac{du}{(u-1)^{2}}=\int dx\] En el primer término utilizamos integración por sustitución y obtenemos: \[\int \frac{du}{(u-1)^{2}}=-\frac{1}{u-1}+C_{1}\] La solución a nuestra ecuación diferencial es, debido a que la segunda integral es fundamental: \[-\frac{1}{u-1}+C_{1}=x+C_{2}\] Y desde un principi...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 35 de separación de variables del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación diferencial a resolver es la siguiente: \[\frac{dy}{dx}=sen(x)(cos(2y)-cos^{2}(y))\] Recordamos las identidades de ángulos dobles para el coseno de un mismo ángulo: \[cos(2y)=cos^{2}(y)-sen^{2}(y)\] Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial: \[\frac{dy}{dx}=sen(x)(cos^{2}(y)-sen^{2}(y)-cos^{2}(y))\] \[\frac{dy}{dx}=sen(x)(-sen^{2}(y))\] Realizamos la separación de variables: \[-\frac{dy}{sen^{2}(y)}=sen(x)dx\] Que será lo mismo a: \[-csec^{2}(y)dy=sen(x)dx\] Luego integramos nuestras funciones trigonométricas: \[\int -csec^{2}(y)dy=\int sen(x)dx\] \[ctan(y)+C_{1}=cos(x)+C_{2}\] \[ctan(y)=cos(x)+C_{2}-C_{1}\] \[ctan(y)=cos(x)+K\] Donde $K=C_{2}-C_{1}$ y recordamos que la derivada de $ctan(y)$ es $-csec^{2}(y)$, luego la integral de la anterior función será ...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 26 de separación de variables del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación diferencial a resolver es la siguiente: \[sen(3x)dx+2ycos^{3}(3x)dy=0\] Dividimos por $cos^{3}(3x)$ y pasamos a restar los términos que tienen $y$: \[\frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx=-2ydy\] Ahora podemos integrar: \[\int \frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx=-2\int ydy\] Integramos por sustitución la primera integral y obtenemos la siguiente respuesta: \[\int \frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx=\frac{1}{6}sec^{2}(3x)+C_{1}\] La segunda integral si es fundamental, luego la respuesta a nuestra ecuación diferencial es: \[\frac{1}{6}sec^{2}(3x)+C_{1}=-y^{2}+C_{2}\] \[\frac{1}{6}sec^{2}(3x)=-y^{2}+C_{2}-C_{1}\] \[\frac{1}{6}sec^{2}(3x)=-y^{2}+K\] Donde $K=C_{2}-C_{1}$

En este caso después de no publicar hace un poco de tiempo, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 14 de separación de variables del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill. La ecuación diferencial a resolver es la siguiente: \[e^{x}y\frac{dy}{dx}=e^{-y}+e^{-2x-y}\] Separando el exponente $e^{-2x-y}=e^{-2x}e^{-y}$, podemos sacar factor común $e^{-y}$ \[e^{x}y\frac{dy}{dx}=e^{-y}(1+e^{-2x})\] Dividiendo por $e^{-y}$ y $e^{x}$ en ambos lados: \[e^{y}y\frac{dy}{dx}=\frac{1+e^{-2x}}{e^{x}}\] Separamos la división: \[e^{y}y\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^{x}}+\frac{e^{-2x}}{e^{x}}\] Recordamos que $\frac{1}{e^{x}}=e^{-x}$ y $\frac{e^{-2x}}{e^{x}}=e^{-3x}$ por reglas de exponentes: \[e^{y}y\frac{dy}{dx}=e^{-x}+e^{-3x}\] Luego es posible realizar la separación de variables: \[e^{y}ydy=(e^{-x}+e^{-3x})dx\] Integramos y obtenemos la respuesta a la ecuación diferencial propuesta: \[\int e^{y}ydy=\int (e^{-x}+e^{-3x})dx\] La integral p...