¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales con factor integrante? 4

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 2.i de ecuaciones con factor integrante del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Resolver cada una de estas ecuaciones hallando un factor integrante:
$$(yln(y)-2xy)dx+(x+y)dy=0$$
Este libro nos propone hallar de dos formas los factores integrantes:
$$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=g(x)$$
$$\mu(x)=e^{\int g(x)dx}$$
y
$$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}=h(y)$$
$$\mu(y)=e^{\int h(y)dy}$$
Como ambos factores integrantes tienen el mismo numerador, calculamos las derivadas parciales:
$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(yln(y)-2xy)$$
$$\frac{\partial M}{\partial y}=ln(y)+1-2x$$
$$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x+y)$$
$$\frac{\partial N}{\partial x}=1$$
Calculamos las funciones $g(x)$ y $h(y)$:
$$g(x)=\frac{ln(y)-2x}{x+y)}$$
$$h(y)=\frac{ln(y)-2x}{-y(ln(y)-2x)}$$
$$h(y)=-\frac{1}{y}$$
Podemos ver que la función $h(y)$, es más fácil de obtener, entonces procedemos a calcular el factor integrante:
$$\mu(y)=e^{-\int \frac{1}{y}}$$
La integral en este caso corresponde a la función logaritmo natural, luego el factor integrante queda de la forma:
$$\mu(y)=e^{-ln(y)}$$
Que por propiedades de logaritmos queda:
$$\mu(y)=e^{ln(y^{-1})}$$
Y finalmente el factor integrante adquiere la forma:
$$\mu(y)=y^{-1}$$
$$\mu(y)=\frac{1}{y}$$
Multiplicamos toda nuestra ecuación diferencial por el factor integrante, y nos queda exacta:
$$\frac{1}{y}(yln(y)-2xy)dx+\frac{1}{y}(x+y)dy=0$$
$$(ln(y)-2x)dx+(\frac{x+y}{y})dy=0$$
Solucionamos la ecuación diferencial exacta encontrando una función $f$:
$$f=\int Mdx+g(y)$$
$$f=\int (ln(y)-2x)dx+g(y)$$
Por linealidad queda de la forma:
$$f=\int ln(y)dx-2\int xdx+g(y)$$
Y las integrales son bastante simples, debido a que realizamos dicha operación respecto a $x$ y $y$ en este caso actúa como una constante:
$$f= xln(y)- x^{2}+g(y)$$
Derivamos parcialmente respecto a $y$:
$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(xln(y)- x^{2}+g(y))$$
$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{y}+g(y')$$
Recordamos como al solucionar algunas ecuaciones diferenciales exactas [1], [2], [3], [4]; que la derivada parcial respecto a $y$ de la función $f$ es igual a $N$ ($\frac{\partial f}{\partial y}=N$), por lo tanto igualamos:
$$\frac{x+y}{y}=\frac{x}{y}+g(y')$$
$$\frac{x}{y}+1=\frac{x}{y}+g(y')$$
Despejamos $g(y')$ e integramos:
$$g(y')=\int dy$$
$$g(y)=y$$
Así la función $f$ (reemplazando el término g(y) encontrado) que corresponde a la solución de nuestra ecuación diferencial es:
$$f=xln(y)-x^{2}+y=C$$