¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales con factor integrante? 4

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 2.i de ecuaciones con factor integrante del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Resolver cada una de estas ecuaciones hallando un factor integrante:
\[(yln(y)-2xy)dx+(x+y)dy=0\]
Este libro nos propone hallar de dos formas los factores integrantes:
\[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=g(x)\]
\[\mu(x)=e^{\int g(x)dx}\]
y
\[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}=h(y)\]
\[\mu(y)=e^{\int h(y)dy}\]
Como ambos factores integrantes tienen el mismo numerador, calculamos las derivadas parciales:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(yln(y)-2xy)\]
\[\frac{\partial M}{\partial y}=ln(y)+1-2x\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x+y)\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=1\]
Calculamos las funciones $g(x)$ y $h(y)$:
\[g(x)=\frac{ln(y)-2x}{x+y)}\]
\[h(y)=\frac{ln(y)-2x}{-y(ln(y)-2x)}\]
\[h(y)=-\frac{1}{y}\]
Podemos ver que la función $h(y)$, es más fácil de obtener, entonces procedemos a calcular el factor integrante:
\[\mu(y)=e^{-\int \frac{1}{y}}\]
La integral en este caso corresponde a la función logaritmo natural, luego el factor integrante queda de la forma:
\[\mu(y)=e^{-ln(y)}\]
Que por propiedades de logaritmos queda:
\[\mu(y)=e^{ln(y^{-1})}\]
Y finalmente el factor integrante adquiere la forma:
\[\mu(y)=y^{-1}\]
\[\mu(y)=\frac{1}{y}\]
Multiplicamos toda nuestra ecuación diferencial por el factor integrante, y nos queda exacta:
\[\frac{1}{y}(yln(y)-2xy)dx+\frac{1}{y}(x+y)dy=0\]
\[(ln(y)-2x)dx+(\frac{x+y}{y})dy=0\]
Solucionamos la ecuación diferencial exacta encontrando una función $f$:
\[f=\int Mdx+g(y)\]
\[f=\int (ln(y)-2x)dx+g(y)\]
Por linealidad queda de la forma:
\[f=\int ln(y)dx-2\int xdx+g(y)\]
Y las integrales son bastante simples, debido a que realizamos dicha operación respecto a $x$ y $y$ en este caso actúa como una constante:
\[f= xln(y)- x^{2}+g(y)\]
Derivamos parcialmente respecto a $y$:
\[\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(xln(y)- x^{2}+g(y))\]
\[\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{y}+g(y')\]
Recordamos como al solucionar algunas ecuaciones diferenciales exactas [1], [2], [3], [4]; que la derivada parcial respecto a $y$ de la función $f$ es igual a $N$ ($\frac{\partial f}{\partial y}=N$), por lo tanto igualamos:
\[\frac{x+y}{y}=\frac{x}{y}+g(y')\]
\[\frac{x}{y}+1=\frac{x}{y}+g(y')\]
Despejamos $g(y')$ e integramos:
\[g(y')=\int dy\]
\[g(y)=y\]
Así la función $f$ (reemplazando el término g(y) encontrado) que corresponde a la solución de nuestra ecuación diferencial es:
\[f=xln(y)-x^{2}+y=C\]