Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 4.a de ecuaciones con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Resolver las siguientes ecuaciones usando las fórmulas diferenciales: \[d\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{ydx-xdy}{y^{2}}\] \[d(xy)=xdy+ydx\] \[d(x^{2}+y^{2})=2(xdx+ydy)\] \[d\left(arctg\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{x^{2}+y^{2}}\] \[d\left(ln\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{xy}\] Nuestra ecuación diferencial a resolver es: \[(y+x)dy=(y-x)dx\] Distribuimos y la ecuación diferencial toma la forma: \[ydy+xdy=ydx-xdx\] Pasamos a restar $ydy$ del lado izquierdo al derecho  y también pasamos a restar $ydx$ del lado derecho al izquierdo \[xdy-ydx=-ydy-xdx\] Multiplicamos por menos en ambos lados de la  expresión y nos queda: \[ydx-xdy=ydy+xdx\] Multiplicamos por $\frac{1}{x^{2}+y^{...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 4.a de ecuaciones con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Resolver las siguientes ecuaciones usando las fórmulas diferenciales: \[d\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{ydx-xdy}{y^{2}}\] \[d(xy)=xdy+ydx\] \[d(x^{2}+y^{2})=2(xdx+ydy)\] \[d\left(arctg\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{x^{2}+y^{2}}\] \[d\left(ln\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{xy}\] Nuestra ecuación diferencial a resolver es: \[xdy-ydx=(1+y^{2})dy\] Que podemos distribuir el segundo término y dejar como: \[xdy-ydx=dy+y^{2}dy\] Dividiendo por $y^{2}$: \[\frac{x}{y^{2}}dy-\frac{y}{y^{2}}dx=\frac{1}{y^{2}}dy+dy\] Dónde los dos primeros términos multiplicados por menos, toman la primera forma de nuestras fórmulas diferenciales: \[\frac{-(ydx-xdy)}{y^{2}}=\frac{1}{y^{2}}dy+dy\] \[-d\left(\fra...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 2.i de ecuaciones con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Resolver cada una de estas ecuaciones hallando un factor integrante: \[(yln(y)-2xy)dx+(x+y)dy=0\] Este libro nos propone hallar de dos formas los factores integrantes: \[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=g(x)\] \[\mu(x)=e^{\int g(x)dx}\] y \[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}=h(y)\] \[\mu(y)=e^{\int h(y)dy}\] Como ambos factores integrantes tienen el mismo numerador, calculamos las derivadas parciales: \[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(yln(y)-2xy)\] \[\frac{\partial M}{\partial y}=ln(y)+1-2x\] \[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x+y)\] \[\frac{\partial N}{\partial x}=1\] Calculamos las funcio...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 2.d de ecuaciones con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Resolver cada una de estas ecuaciones hallando un factor integrante: \[e^{x}dx+(e^{x}cot(y)+2y csc(y))dy=0\] Este libro nos propone hallar de dos formas los factores integrantes: \[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=g(x)\] \[\mu(x)=e^{\int g(x)dx}\] y \[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}=h(y)\] \[\mu(y)=e^{\int h(y)dy}\] Como ambos factores integrantes tienen el mismo numerador, calculamos las derivadas parciales: \[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(e^{x})\] \[\frac{\partial M}{\partial y}=0\] \[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(e^{x}cot(y)+2ycsc(y))\] \[\frac{\partial N}{\partial x}=e^{x}cot(y)\...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 41 de ecuaciones lineales con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. El problema es el siguiente: \[L\frac{di}{dt}+Ri=E\] Con $L$, $R$ y $E$ son constantes, y de acuerdo a la condición inicial $i(0)=i_{0}$ Identificamos con la ecuación diferencial lineal: \[\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)\] Donde el factor integrante se obtiene a partir de: \[\mu(x)=e^{\int P(x)dx}\] Para que nuestra ecuación diferencial quede de la forma: \[e^{\int P(x)dx}\frac{dy}{dx}+e^{\int P(x)dx}P(x)y=e^{\int P(x)dx}f(x)\] La cuál ya es una ecuación diferencial exacta debido al factor integrante. Así nuestra ecuación diferencial queda de la forma: \[\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}\] Hallamos dicho factor integrante: \[\mu(t)=e^{\int \frac{R}{L}dt}=e^{\frac{R}{L}t}\] Así nuestra ecuación diferencial queda de la forma: \[e^{\frac{R}{L}t}\frac{di}{dt}+...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 18 de ecuaciones lineales con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. El problema es el siguiente: \[\frac{dy}{dx}+ycot(x)=2cos(x)\] Identificamos con la ecuación diferencial lineal: \[\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)\] Donde el factor integrante se obtiene a partir de: \[\mu(x)=e^{\int P(x)dx}\] Para que nuestra ecuación diferencial quede de la forma: \[e^{\int P(x)dx}\frac{dy}{dx}+e^{\int P(x)dx}P(x)y=e^{\int P(x)dx}f(x)\] La cuál ya es una ecuación diferencial exacta debido al factor integrante. Hallamos dicho factor integrante: \[\mu(x)=e^{\int cot(x)dx}\] La integral de la función cotangente es la siguiente: \[\int cot(x)dx=ln(sen(x))+C\] El factor integrante nos queda de la forma: \[\mu(x)=e^{ln(sen(x))}=sen(x)\] Así nuestra ecuación diferencial a resolver toma la forma: \[sen(x)\frac{dy}{dx}+ysen(x)cot(x)=2sen(x)cos(x)\] ...