Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

La ecuación diferencial a resolver es: \[y'+y=0\] Proponemos una solución como en el punto anterior con sus correspondientes derivadas hasta primer orden: \[y=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}\] \[y'=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}nx^{n-1}\] Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial y tenemos: \[\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}nx^{n-1}+\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=0\] Realizamos un cambio de indices para la primera sumatoria con $k=n-1$, y por lo tanto $n=k+1$ y para la segunda sumatoria con $k=n$, reemplazamos en nuestra ecuación diferencial y nos quedara: \[\sum_{k=0}^{\infty}c_{k+1}(k+1)x^{k}+\sum_{k=0}^{\infty}c_{k}x^{k}=0\] Que podemos escribir de la forma: \[\sum_{k=0}^{\infty}[c_{k+1}(k+1)+c_{k}]x^{k}=0\] Luego: \[\sum_{k=0}^{\infty}\underbrace{[c_{k+1}(k+1)+c_{k}]}_{=0}\underbrace{x^{k}}_{\neq0}=0\] Obtenemos una ecuación característica de la cual vamos a sacar los valores de la ecuación diferencial: \[c_{k+1}(k+1)+c_{k}=0\] \[c_{k+1}(k+1)=-c_{k}\] \[c_...

La ecuación diferencial a resolver es: \[y''(x)+8xy'(x)-4y(x)=0\] Vamos a utilizar el método de series de potencias dado que es una ecuación diferencial ordinaria con parámetros variables, luego proponemos una solución con sus respectivas derivadas hasta segundo orden de la forma: \[y=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}\] \[y'=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}nx^{n-1}\] \[y''=\sum_{n=2}^{\infty}c_{n}n(n-1)x^{n-2}\] Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial y tenemos: \[\sum_{n=2}^{\infty}c_{n}n(n-1)x^{n-2}+8x\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}nx^{n-1}-4\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=0\] El término $x$ del segundo termino afecta a la sumatoria y queda de la forma: \[\sum_{n=2}^{\infty}c_{n}n(n-1)x^{n-2}+8\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}nx^{n}-4\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=0\] Luego si hacemos $k=n-2$, y por lo tanto $n=k+2$, para la primera sumatoria y $k=n$ para la segunda y tercera sumatoria, la ecuación anterior me quedara de la forma: \[\sum_{k=0}^{\infty}c_{k+2}(k+2)(k+1)x^{k}+...