Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje y, y además está en presencia de la gravedad, su ecuación diferencial es la siguiente: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=g\] Esta es una ecuación diferencial no homogénea y la vamos a resolver por el método de variación de parámetros. Para este método necesitamos resolver la ecuación diferencial homogenea: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=0\] Que ya la hemos resuelto en este enlace  aunque resuelta con la coordenada $x$, pero eso no va a importar, porque va a ser la misma solución, solo que cambiamos de $x$ a $y$: \[y(t)=c_{1}cos(\omega t)+c_{2}sen(\omega t)\] Para resolver la ecuación diferencial debemos hallar el wronskiano: \[W(f(t),g(t))=\begin{vmatrix}f(t) & g(t)\\f'(t) & g'(t)\end{vmatrix}\] Identificamos las funciones $f(t)=c_{1}cos(\omega t)$ y $g(t)=c_{2}sen(\omega t)$, hallamos las derivadas $f'(t)=-c_{1}\omega sen(\omega t)$ y $g'(t)=c_{...

La ecuación que vamos a resolver es: \[y''-5y'+4y=1\] Proponemos una solución $y=e^{mx}$ y sus correspondientes derivadas $y'=me^{mx}$ y $y''=m^{2}e^{mx}$ y reemplazamos en nuestra ecuación homogenea que es de la forma: \[y''-5y'+4y=0\] \[m^{2}e^{mx}-5me^{mx}+4e^{mx}=0\] Factorizamos $e^{mx}$ y tenemos: \[\overbrace{ e^{mx}}^{\neq 0}\overbrace{[m^{2}-5m+4]}^{=0}=0\] Por lo tanto tenemos que resolver la cuadrática: \[m^{2}-5m+4=0\] La cual admite factorización de la forma: \[(m-1)(m-4)=0\] Luego las raíces correspondientes serán  $m_{1}=1$, $m_{2}=4$ y la solución complementaria será: \[y_{c}=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{4x}\] Ahora es posible hallar la solución particular $y_{p}$ a partir de nuestra solución conocida que es nuestra solución complementaria, tendremos: \[W=\begin{vmatrix}u_{1} & u_{2}\\u'_{1}& u'_{2}\end{vmatrix}\] Nos damos cuenta que la solución es de la forma $y=c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}$ luego reemplazamos dichas f...

Tenemos la ecuación diferencial no homogénea: \[y''+9y=sec(x)\] Primero hallamos la solución complementaria $y_{c}$, que se obtiene de resolver la ecuación diferencial homogénea: \[y''+9y=0\] Proponemos una solución de la forma $y=e^{mx}$ y sus derivadas $y'=me^{mx}$, $y''=m^{2}e^{mx}$, reemplazamos en nuestra ecuación diferencial: \[m^{2}e^{mx}+9e^{mx}=0\] Factorizamos $e^{mx}$ y como este ultimo no puede ser cero, la ecuación cuadrática a resolver para determinar $m$ es de la forma: \[e^{mx}(m^{2}+9)=0\] \[m^{2}+9=0\] Las soluciones a esa ecuación cuadrática son de la forma: \[m_1=i3 \quad m_2=-i3\] La solución particular es de la forma: \[y_c=C_1e^{i3x}+C_2e^{-i3x}\] Aplicamos la identidad de Euler  y obtenemos: \[y_c=c_1cos(3x)+c_2sen(3x)\] Para hallar la solución particular $y_p$ utilizamos el método de variación de parámetros, que emplea el Wronskiano: \[W(f(x),g(x))=\begin{vmatrix}f(x) & g(x)\\f'(x) & g'(x)\end{vmatrix}...