Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

Debido a la petición de una suscriptora y seguidora, he decidido realizar tres ejercicios referentes al tema de convolución que estarán explicados y desarrollados a continuación, eso sí, debo aclarar que son un poco largos, pero intentaré que sea lo más claro posible, comencemos con el primero de los ejercicios: (a) sean $\alpha$, $k$ dos constantes reales, encuentre una relación entre estas dos constantes de modo que se tenga la siguiente igualdad: \[e^{t}\ast cos(\alpha t)=k(e^{t}-cos(\alpha t)+\alpha sen(\alpha t))\] Recordamos que la convolución de dos funciones es igual a: \[f(t)\ast g(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau)d\tau\] y por lo tanto su transformada de Laplace: \[\mathscr{L}[f(t)\ast g(t)]=\mathscr{L}[f(t)]\mathscr{L}[g(t)]\] Así, que para nuestro caso aplicamos el anterior resultado y tenemos: \[\mathscr{L}[e^{t}\ast cos(\alpha t)]=\mathscr{L}[k(e^{t}-cos(\alpha t)+\alpha sen(\alpha t))]\] Primero nos vamos a ocupar de la parte izquierda de la igualdad,  \[\mathscr{L}[e^...