Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

 Ahora les voy a mostrar como realizar la siguiente integral definida: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{3}\theta d\theta\] Está integral también se puede representar cómo: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta sen\theta d\theta\] Por la identidad trigonométrica fundamental: \[sen^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\] \[sen^{2}\theta=1-cos^{2}\theta\] Reemplazamos en nuestra integral: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}(1-cos^{2}\theta) sen\theta d\theta\] Hacemos una sustitución de la forma $u^{2}=cos^{2}\theta$, $u=cos\theta$, $du=-sen\theta d\theta$, $-du=sen\theta d\theta$, además para el límite inferior sí $\theta=\frac{\pi}{4}$, $u=cos\theta=cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, y para el límite superior sí $\theta=\frac{3\pi}{4}$, $u=cos\theta=cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, así la integral y su respuesta toman la forma: \[-\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}(1-u^{2})du=\frac{5\sqrt{2}}{6}\]