Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

 A petición de un suscriptor y seguidor voy a mostrar dos ejercicios para el cálculo del centro de masa con integrales dobles, comencemos: El segundo ejercicio es: 2. Calcular el centro de masa de una lámina representada por la región $R$ que se encuentra por encima del eje $x$ y entre las líneas $y=x$; $y=-x$, $x^{2}+y^{2}=4y$; $x^{2}+y^{2}=6y$; $y>0$; donde la densidad es $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ Primero vamos a representar el área, al cuál vamos a hallar el centro de masa (voy a utilizar Geogebra). Este problema resulta más simple si lo resolvemos mediante coordenadas polares, así que la densidad $\rho(x,y)$ en coordenadas polares de acuerdo a las reglas de transformación $x=rcos\theta$ y $y=rsen\theta$ es: \[\rho(x,y)=\rho(rcos\theta,rsen\theta)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(rcos\theta)^{2}+(rsen\theta)^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r\] Como vimos en el primer ejercicio , las integrales que tiene cada punto del centro de masa se pueden representar en coordenadas polares, escogemos este tipo de ...

 En esta vez vamos a realizar la siguiente integral: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{5}\theta d\theta\] Vamos a aplicar el mismo método que aplicamos cuándo resolvimos la integral con la función $sen^{3}\theta$ : \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}(1-cos^{2}\theta)^{2}sen\theta d\theta\] Sí $u=cos\theta$, $du=-sen\theta d\theta$, $-du=sen\theta d\theta$, y los límites de integración quedarán de la misma forma que en la integración con $sen^{3}\theta$ , así nuestra integral y su respuesta quedan cómo (realizando la respectiva integral y su evaluación, se deja como ejercicio al lector): \[-\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}(1-u^{2})^{2}du=-\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}(1-2u^{2}+u^{4})du=\frac{28\sqrt{2}}{15}\]

Es nuestro turno de resolver la siguiente integral definida: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{4}\theta d\theta\] De acuerdo a lo visto en la publicación para una integración definida con $sen^{2}\theta$ : \[sen^{2}\theta=\frac{1-cos(2\theta)}{2}\] Así la función $sen^{4}\theta$ puede representarse como: \[sen^{4}\theta=(sen^{2})^{2}=\left(\frac{1-cos(2\theta)}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}-\frac{cos(2\theta)}{2}+\frac{cos(4\theta)}{8}\] Reemplazamos: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{4}\theta d\theta=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\left(\frac{3}{8}-\frac{cos(2\theta)}{2}+\frac{cos(4\theta)}{8}\right)d\theta\] Integramos y evaluamos, para darnos la siguiente respuesta: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{4}\theta d\theta=\frac{3\pi+8}{16}\]

 Ahora les voy a mostrar como realizar la siguiente integral definida: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{3}\theta d\theta\] Está integral también se puede representar cómo: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta sen\theta d\theta\] Por la identidad trigonométrica fundamental: \[sen^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\] \[sen^{2}\theta=1-cos^{2}\theta\] Reemplazamos en nuestra integral: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}(1-cos^{2}\theta) sen\theta d\theta\] Hacemos una sustitución de la forma $u^{2}=cos^{2}\theta$, $u=cos\theta$, $du=-sen\theta d\theta$, $-du=sen\theta d\theta$, además para el límite inferior sí $\theta=\frac{\pi}{4}$, $u=cos\theta=cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, y para el límite superior sí $\theta=\frac{3\pi}{4}$, $u=cos\theta=cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, así la integral y su respuesta toman la forma: \[-\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}(1-u^{2})du=\frac{5\sqrt{2}}{6}\]

 En esta oportunidad les voy a mostrar como realizar la integral definida siguiente: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta d\theta\] Si es el caso que no recuerdas como reducir está integral a una más fácil, lo mejor es recordar la identidad del coseno para ángulos dobles: \[cos(a\pm b)=cos(a)cos(b)\mp sen(a)sen(b)\] Sí el angulo $a=b$, la identidad queda de la forma (válida sólo para la suma de ángulos): \[cos(2a)=cos^{2}(a)- sen^{2}(a)\] Comparamos con nuestra función $sen^{2}\theta$: \[cos(2\theta)=cos^{2}(\theta)- sen^{2}(\theta)\] Por la identidad fundamental (o pitagórica): \[sen^{2}(\theta)+cos^{2}(\theta)=1\] \[cos^{2}(\theta)=1-sen^{2}(\theta)\] Reemplazamos en nuestra identidad para el ángulo doble: \[cos(2\theta)=1-sen^{2}(\theta)- sen^{2}(\theta)\] \[cos(2\theta)=1-2sen^{2}(\theta)\] Ahora es posible representar el valor de $sen^{2}\theta$ en términos del coseno para ángulos dobles: \[sen^{2}\theta=\frac{1-cos(2\theta)}{2}\] Y la integral también será igu...

A petición de un suscriptor y seguidor voy a mostrar dos ejercicios para el cálculo del centro de masa con integrales dobles, comencemos: El primer ejercicio es: 1. Hallar el centro de masa de una lámina que tiene la forma de la región en el primer cuadrante limitada por la circunferencia $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ y los ejes coordenados, la densidad varía con la suma de las distancias, desde las aristas rectas. Primero vamos a representar el área, al cuál vamos a hallar el centro de masa (voy a utilizar Geogebra). Dicha región en verde corresponde a un cuarto de circunferencia, así la forma de hallar el centro de masa está dada por las formulas: \[\bar{x}=\frac{\int \int_R x\rho(x,y)dxdy}{\int \int_R \rho(x,y)dxdy}\quad \wedge\quad \bar{y}=\frac{\int \int_R y\rho(x,y)dxdy}{\int \int_R \rho(x,y)dxdy}\] Antes de utilizar las expresiones anteriores debemos saber como es la forma de $\rho(x,y)$, y de acuerdo al enunciado corresponde a la suma de las distancias, así que la podemos expresar cómo: ...

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje y, y además está en presencia de la gravedad, su ecuación diferencial es la siguiente: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=g\] Esta es una ecuación diferencial no homogénea y la vamos a resolver por el método de variación de parámetros. Para este método necesitamos resolver la ecuación diferencial homogenea: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=0\] Que ya la hemos resuelto en este enlace  aunque resuelta con la coordenada $x$, pero eso no va a importar, porque va a ser la misma solución, solo que cambiamos de $x$ a $y$: \[y(t)=c_{1}cos(\omega t)+c_{2}sen(\omega t)\] Para resolver la ecuación diferencial debemos hallar el wronskiano: \[W(f(t),g(t))=\begin{vmatrix}f(t) & g(t)\\f'(t) & g'(t)\end{vmatrix}\] Identificamos las funciones $f(t)=c_{1}cos(\omega t)$ y $g(t)=c_{2}sen(\omega t)$, hallamos las derivadas $f'(t)=-c_{1}\omega sen(\omega t)$ y $g'(t)=c_{...

La integral que vamos a resolver es la siguiente: \[\int sec(x)dx\] Para poder realizar la integral de esta función vamos a multiplicar por $sec(x)+tan(x)$ arriba y abajo, que es equivalente a multiplicar por $1$: \[\int sec(x)\frac{sec(x)+tan(x)}{sec(x)+tan(x)}dx\] Distribuyendo: \[\int \frac{sec^{2}(x)+sec(x)tan(x)}{sec(x)+tan(x)}dx\] Luego podemos realizar el siguiente cambio de variable, sí $u=sec(x)+tan(x)$, por lo tanto $du=sec(x)tan(x)+sec^{2}(x)$, por lo tanto nos queda la integral que da como resultado en términos de un logaritmo natural: \[\int \frac{du}{u}=ln(u)+C\] Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la respuesta a nuestra integral: \[\int sec(x)dx=ln(sec(x)+tan(x))+C\]

La integral que queremos resolver es la siguiente: \[\int tan(x)dx\] Podemos expresarla de acuerdo a la razón trigonométrica $tan(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}$: \[\int \frac{sen(x)}{cos(x)}dx\] Podemos hacer una sustitución $u=cos(x)$, $du=-sen(x)$, pasamos el menos al otro lado $-du=sen(x)$ Y nos queda la siguiente integral, que corresponde a un logaritmo natural: \[-\int \frac{du}{u}=-ln(u)+C\] Que por propiedades de los logaritmos: \[-ln(u)+C=ln(u^{-1})+C\] Deshacemos el cambio de variable y finalmente encontramos la respuesta a nuestra integral: \[\int tan(x)dx=ln(cos(x)^{-1})+C\] \[\int tan(x)dx=ln(sec(x))+C\]

Nuestra integral a resolver es la siguiente: \[\int \frac{d(x^{2}+y^{2})}{2(x^{2}+y^{2})}\] Podemos realizar el siguiente cambio de variable $u=x^{2}+y^{2}$, $du=d(x^{2}+y^{2})$, debido a que este término corresponde con la derivada del denominador, así transformamos esta integral en: \[\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}ln(u)+C\] Deshacemos el cambio de variable: \[\frac{1}{2}ln(u)+C=\frac{1}{2}ln(x^{2}+y^{2})+C\] Aplicamos propiedades de logaritmos: \[\frac{1}{2}ln(x^{2}+y^{2})+C=ln(x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{2}}\] Que corresponde con una raíz cuadrada: \[ln(x^{2}+y^{2})^{frac{1}{2}}=ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}+C\] Así finalmente tenemos la respuesta a nuestra integral: \[\int \frac{d(x^{2}+y^{2})}{2(x^{2}+y^{2})}=ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}+C\]

La integral que queremos resolver es la siguiente: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}}\] Realizamos un cambio de variable de la forma $u=1+\frac{mg}{E}y$, $du=\frac{mg}{E}dy$, luego $\frac{E}{mg}du=dy$, así nuestra integral toma la forma: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\frac{E}{mg} \int\frac{du}{\sqrt{u}}\] Que se reduce a una sencilla integral: \[\sqrt{\frac{E}{2m}}\frac{1}{g} \int\frac{du}{(u)^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{\frac{E}{2m}}\frac{1}{g} \int (u)^{\frac{-1}{2}}du\] Que corresponde a la siguiente respuesta: \[\sqrt{\frac{2E}{mg^{2}}}(u)^{\frac{1}{2}}+C\] Deshacemos el cambio de variable para llegar finalmente al resultado de nuestra integral: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}}=\sqrt{\frac{2E}{mg^{2}}}\left(1+\frac{mg}{E}y\right)^{\frac{1}{2}}+C\] \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}}=\sqrt{\frac{2E}{mg^{2}}}\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}+C\]

La integral que queremos resolver es la siguiente: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}\] Realizamos un cambio de variable de la siguiente forma: \[\frac{k}{2E}x^{2}=y^{2}\] Para poder hallar la derivada sacamos raíz cuadrada a ambos términos: \[\sqrt{\frac{k}{2E}}x=y\] Sacamos las derivadas y obtenemos: \[\sqrt{\frac{k}{2E}}dx=dy\] Luego pasando el factor que multiplica el $dx$ al lado del dy: \[dx=\sqrt{\frac{2E}{k}}dy\] Por tanto la integral queda de la forma: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\sqrt{\frac{2E}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}\] \[\sqrt{\frac{m}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}\] Que corresponde a una integral de arcoseno, por lo tanto la respuesta nos queda como: \[\sqrt{\frac{m}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen(y)+C\] Deshaciendo el cambio de variable, obtenemos finalmente el resultado de nuestra integral: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcse...

Nuestra integral a resolver es la siguiente: \[\frac{E}{L}\int e^{\frac{R}{L}t}dt\] Con $E$, $R$ y $L$ constantes, Realizamos una sustitución de la forma $u=\frac{R}{L}t$, $du=\frac{R}{L}dt$, entonces $\frac{L}{R}du=dt$ Así la integral a resolver es la siguiente: \[\frac{L}{R}\int e^{u}du=\frac{L}{R}e^{u}\] Deshacemos el cambio de variable y tenemos la respuesta a nuestra integral: \[\frac{E}{L}\int e^{\frac{R}{L}t}dt=\frac{E}{R}e^{\frac{R}{L}t}\]

Nuestra integral a resolver está vez es la siguiente: \[\int sen(2x)dx\] Podemos realizar la siguiente sustitución $u=2x$, $du=2dx$, entonces $\frac{du}{2}=dx$, así la integral nos queda de la forma: \[\frac{1}{2}\int sen(u)du\] Que corresponde a una integral fundamental: \[\frac{1}{2}\int sen(u)du=-\frac{1}{2}cos(u)+C\] Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la respuesta a nuestra integral: \[-\frac{1}{2}cos(2x)+C\]

La integral que vamos a resolver en el día de hoy es la siguiente: \[\int cot(x)dx\] Esta integral la podemos expresar en términos de las funciones seno y coseno, debido a la razón trigonométrica $cot(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}$: \[\int \frac{cos(x)}{sen(x)}dx\] Ahora podemos realizar el siguiente cambio de variable $u=sen(x)$, $du=cos(x)dx$, y la nueva integral en términos de $u$ nos queda como: \[\int \frac{du}{u}\] Que corresponde a la integral que da como resultado la función $ln(u)$ (Para nuestro caso antes de realizar el cambio de variable) \[\int \frac{du}{u}=ln(u)+C\] Deshacemos el cambio de variable y tenemos la respuesta final a nuestra integral: \[\int cot(x)dx=\int \frac{cos(x)}{sen(x)}dx=ln(sen(x))+C\]

Nos piden simplificar la siguiente solución de una ecuación diferencial (aunque es válido para simplificar muchas expresiones, sólo que acá muestro el respectivo procedimiento): \[y=C_1e^{i3x}+C_2e^{-i3x}\] Aplicamos la identidad de Euler: \[e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta\] La solución queda de la forma: \[y=C_1(cos(3x)+isen(3x))+C_2(cos(-3x)+isen(-3x))\] Donde $cos(-3x)=cos(3x)$ y $sen(-3x)=-sen(3x)$: \[y=C_1(cos(3x)+isen(3x))+C_2(cos(3x)-isen(3x))\] Distribuimos y factorizamos $cos(3x)$ y $sen(3x)$: \[y=C_1(cos(3x)+isen(3x))+C_2(cos(3x)-isen(3x))\] \[y=C_1cos(3x)+iC_1sen(3x)+C_2cos(3x)-iC_2sen(3x)\] \[y=(C_1+C_2)cos(3x)+(iC_1-iC_2)sen(3x)\] Renombramos las constantes: $(C_1+C_2)=c_1$ y $(iC_1-iC_2)=c_2$, y por lo tanto la solución queda reducida a la forma: \[y=c_1cos(3x)+c_2sen(3x)\]

Nuestra integral que queremos resolver es la siguiente: \[\int \frac{w^{2}dw}{1+w^{2}}\] Podemos reexpresar la función como: \[\int \frac{w^{2}+1-1}{1+w^{2}}\] Separamos fracciones y por linealidad tenemos las siguientes integrales: \[\int \frac{w^{2}+1}{1+w^{2}}dw-\int \frac{1}{1+w^{2}}dw\] La primera integral nos queda muy sencilla, y la segunda corresponde a la integral de arcotangente: \[\int dw-\int \frac{1}{1+w^{2}}dw\] Luego la respuesta a la integral es la siguiente: \[\int \frac{w^{2}dw}{1+w^{2}}=w-arctan(w)+C\]

Nuestra integral que vamos a resolver es la siguiente: \[\int \frac{du}{(u-1)^{2}}\] Para la primera integral podemos realizar el siguiente cambio de variable $p=u-1$, $dp=du$, e integramos: \[\int \frac{dp}{p^{2}}=-\frac{1}{p}+C\] Deshacemos el cambio de variable y tenemos: \[-\frac{1}{p}+C=-\frac{1}{u-1}+C\] Que corresponde a la respuesta final de nuestra integral: \[\int \frac{du}{(u-1)^{2}}=-\frac{1}{u-1}+C_{1}\]

Nuestra integral que vamos a resolver es la siguiente: \[\int \frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx\] En este caso tenemos que realizar dos sustituciones para poder llegar al resultado, la primera sustitución es $u=3x$, $du=3dx$; entonces $\frac{du}{3}=dx$, y nuestra integral queda de la forma: \[\frac{1}{3}\int\frac{sen(u)}{cos^{3}(u)}du\] La siguiente sustitución a realizar es $v=cos(u)$, $dv=-sen(u)du$; entonces $-dv=sen(u)du$, y finalmente nuestra integral tiene la forma: \[-\frac{1}{3}\int \frac{dv}{v^{3}}\] Se puede expresar más sencillo para obtener su método de solución: \[-\frac{1}{3}\int v^{-3}=-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}v^{-2}\right)+C=\frac{1}{6}v^{-2}+C\] Deshacemos las sustituciones: \[\frac{1}{6}v^{-2}+C=\frac{1}{6v^{2}}+C=\frac{1}{6cos^{2}(3x)}+C=\frac{1}{6}sec^{2}(3x)+C\] Tenemos la respuesta a nuestra integral: \[\int \frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx=\frac{1}{6}sec^{2}(3x)+C\]

Nuestra integral que vamos a resolver es la siguiente: \[\int (e^{-x}+e^{-3x})dx\] Por linealidad de las integrales: \[\int e^{-x}dx+\int e^{-3x}dx\] Para la primera integral \[\int e^{-x}dx\] Realizamos una sustitución de la siguiente forma $u=-x$, $du=-dx$, $-du=dx$, así la integral toma la forma: \[-\int e^{u}du\] Como es una integral fundamental, tenemos el siguiente resultado de la integral: \[-e^{u}+c_1\] Deshacemos el cambio de variable para obtener la respuesta a la primera integral: \[\int e^{-x}dx=-e^{-x}+c_1\] Para la segunda integral \[\int e^{-3x}dx\] Realizamos una sustitución de la siguiente forma $v=-3x$, $dv=-3dx$, $-\frac{dv}{3}=dx$, así la integral toma la forma: \[-\frac{1}{3}\int e^{v}dv\] Que también corresponde a una integral fundamenta, integrando: \[-\frac{1}{3}e^{v}+c_{2}\] Deshacemos el cambio de variable para obtener la respuesta a la segunda integral: \[\int e^{-3x}dx=-\frac{1}{3}e^{-3x}+c_{2}\] Luego la respuesta a toda la integral es: ...