¿Cómo realizar una sustitución para integrar una función en términos de arcoseno? 2

 La integral que queremos solucionar es la siguiente:

$$\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y-\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}}}$$

La expresión dentro de la raíz cuadrada se puede escribir cómo:

$$-\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}+\frac{mg}{E}y+1=-\left(\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}-\frac{mg}{E}y-1\right)$$

$$=-\left[\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{2E}\sqrt{\frac{2E}{k}}\right)^{2}-\left(1+\left(\frac{mg}{E}\right)^{2}\frac{2E}{4k}\right)\right]$$

$$=\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)-\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{\sqrt{2Ek}}\right)^{2}$$

Luego la integral queda de la forma:

$$\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)-\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{\sqrt{2Ek}}\right)^{2}}}$$

Factorizamos $\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)$:

$$\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)}\sqrt{1-\frac{\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{\sqrt{2Ek}}\right)^{2}}{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)}}}$$

Ahora sí $u^{2}=\frac{\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{\sqrt{2Ek}}\right)^{2}}{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)}$, luego $u=\frac{\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{\sqrt{2Ek}}\right)}{\sqrt{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)}}$ y $du=\frac{\sqrt{\frac{k}{2E}}dy}{\sqrt{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)}}$, o lo que es lo mismo: $\frac{2E}{k}du=\frac{dy}{\sqrt{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)}}$, así finalmente nuestra integral se reduce a:

$$\sqrt{\frac{m}{k}}\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen(u)+C$$

Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la respuesta finalmente (organizando un poco los términos) de nuestra integral:

$$\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y-\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen\left(\frac{ky-mg}{m^{2}g^{2}+2Ek}\right)$$