Demostración ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con Wronskiano

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 47 de ecuaciones diferenciales de segundo orden homogeneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
El problema es el siguiente:

Sean $y_{1}$ y $y_{2}$ dos soluciones de:

$$a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}y=0$$

(a) Sí $W(y_{1},y_{2})$ es el wronskiano de $y_{1}$ y $y_{2}$, demuestre que

$$a_{2}(x)\frac{dW}{dx}+a_{1}(x)W=0$$

Como $y_{1}$ y $y_{2}$ son soluciones de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden, luego también deben ser soluciones de las ecuaciones diferenciales:

$$a_{2}(x)y_{1}''+a_{1}(x)y_{1}'+a_{0}y_{1}=0$$

$$a_{2}(x)y_{2}''+a_{1}(x)y_{2}'+a_{0}y_{2}=0$$

El wronskiano es de la forma:

$$W(y_{1},y_{2})=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2}\\y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}$$

$$W(y_{1},y_{2})=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'$$

La derivada del Wronskiano es:

$$\frac{dW}{dx}=(y_{1}y_{2}')'-(y_{2}y_{1}')'$$

$$=y_{1}y_{2}''-y_{2}y_{1}''$$

Reemplazamos dichos resultados en nuestra ecuación diferencial que involucra el wronskiano:

$$a_{2}(x)[y_{1}y_{2}''-y_{2}y_{1}'']+a_{1}(x)[y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}']=0$$

Distribuimos y factorizamos respecto a $y_{1}$ y $y_{2}$:

$$y_{1}[a_{2}(x)y_{2}''+a_{1}(x)y_{2}']-y_{2}[a_{2}(x)y_{1}''+a_{1}(x)y_{1}']=0$$

Pero como $y_{1}$ y $y_{2}$ satisfacen las ecuaciones mostradas al inicio, despejamos la segunda derivada en cada caso:

$$a_{2}(x)y_{1}''=-a_{1}(x)y_{1}'-a_{0}y_{1}$$

$$a_{2}(x)y_{2}''=-a_{1}(x)y_{2}'-a_{0}y_{2}$$

Reemplazamos y demostramos que se cumple la igualdad:

$$-a_{0}(x)y_{1}y_{2}+a_{0}(x)y_{1}y_{2}=0$$

(b) Deduzca la fórmula de Abel

$$W=ce^{-\int \frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}$$

A partir de la ecuación diferencial que involucra el Wronskiano, dividimos entre $a_{2}(x)$ y aplicamos el factor integrante $\mu=e^{\int p(x)dx}$:

$$e^{\int \frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}\frac{dW}{dx}+e^{\int \frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}W=0$$

Está ecuación diferencial puede representarse como una derivada de dos funciones:

$$\frac{d}{dx}\left(e^{\int \frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}W\right)=0$$

Integramos:

$$e^{\int \frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}W=c$$

Despejamos el Wronskiano, y hallamos finalmente la fórmula de Abel:

$$W=ce^{-\int \frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}$$