Ir al contenido principal

Demostración ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con Wronskiano

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 47 de ecuaciones diferenciales de segundo orden homogeneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
El problema es el siguiente:
Sean $y_{1}$ y $y_{2}$ dos soluciones de:
\[a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}y=0\]
(a) Sí $W(y_{1},y_{2})$ es el wronskiano de $y_{1}$ y $y_{2}$, demuestre que
\[a_{2}(x)\frac{dW}{dx}+a_{1}(x)W=0\]
Como $y_{1}$ y $y_{2}$ son soluciones de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden, luego también deben ser soluciones de las ecuaciones diferenciales:
\[a_{2}(x)y_{1}''+a_{1}(x)y_{1}'+a_{0}y_{1}=0\]
\[a_{2}(x)y_{2}''+a_{1}(x)y_{2}'+a_{0}y_{2}=0\]
El wronskiano es de la forma:
\[W(y_{1},y_{2})=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2}\\y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}\]
\[W(y_{1},y_{2})=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'\]
La derivada del Wronskiano es:
\[\frac{dW}{dx}=(y_{1}y_{2}')'-(y_{2}y_{1}')'\]
\[=y_{1}y_{2}''-y_{2}y_{1}''\]
Reemplazamos dichos resultados en nuestra ecuación diferencial que involucra el wronskiano:
\[a_{2}(x)[y_{1}y_{2}''-y_{2}y_{1}'']+a_{1}(x)[y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}']=0\]
Distribuimos y factorizamos respecto a $y_{1}$ y $y_{2}$:
\[y_{1}[a_{2}(x)y_{2}''+a_{1}(x)y_{2}']-y_{2}[a_{2}(x)y_{1}''+a_{1}(x)y_{1}']=0\]
Pero como $y_{1}$ y $y_{2}$ satisfacen las ecuaciones mostradas al inicio, despejamos la segunda derivada en cada caso:
\[a_{2}(x)y_{1}''=-a_{1}(x)y_{1}'-a_{0}y_{1}\]
\[a_{2}(x)y_{2}''=-a_{1}(x)y_{2}'-a_{0}y_{2}\]
Reemplazamos y demostramos que se cumple la igualdad:
\[-a_{0}(x)y_{1}y_{2}+a_{0}(x)y_{1}y_{2}=0\]
(b) Deduzca la fórmula de Abel
\[W=ce^{-\int \frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}\]
A partir de la ecuación diferencial que involucra el Wronskiano, dividimos entre $a_{2}(x)$ y aplicamos el factor integrante $\mu=e^{\int p(x)dx}$:
\[e^{\int \frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}\frac{dW}{dx}+e^{\int \frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}W=0\]
Está ecuación diferencial puede representarse como una derivada de dos funciones:
\[\frac{d}{dx}\left(e^{\int \frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}W\right)=0\]
Integramos:
\[e^{\int \frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}W=c\]
Despejamos el Wronskiano, y hallamos finalmente la fórmula de Abel:
\[W=ce^{-\int \frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}\]


Etiquetas:

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

¿Cuál es la integral de sen(2x)?

Nuestra integral a resolver está vez es la siguiente: \[\int sen(2x)dx\] Podemos realizar la siguiente sustitución $u=2x$, $du=2dx$, entonces $\frac{du}{2}=dx$, así la integral nos queda de la forma: \[\frac{1}{2}\int sen(u)du\] Que corresponde a una integral fundamental: \[\frac{1}{2}\int sen(u)du=-\frac{1}{2}cos(u)+C\] Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la respuesta a nuestra integral: \[-\frac{1}{2}cos(2x)+C\]
Publicar un comentario
Leer más

¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales con factor integrante? 4

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 2.i de ecuaciones con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Resolver cada una de estas ecuaciones hallando un factor integrante: \[(yln(y)-2xy)dx+(x+y)dy=0\] Este libro nos propone hallar de dos formas los factores integrantes: \[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=g(x)\] \[\mu(x)=e^{\int g(x)dx}\] y \[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}=h(y)\] \[\mu(y)=e^{\int h(y)dy}\] Como ambos factores integrantes tienen el mismo numerador, calculamos las derivadas parciales: \[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(yln(y)-2xy)\] \[\frac{\partial M}{\partial y}=ln(y)+1-2x\] \[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x+y)\] \[\frac{\partial N}{\partial x}=1\] Calculamos las funcio...
Publicar un comentario
Leer más

¿Cómo son las integrales del tipo arcoseno o arcocoseno?

Del curso de Cálculo Integral aprendemos que las integrales de tipo arcoseno u arcocoseno son de la forma: \[\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}=arcsen(u)\] ó \[\int -\frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}=arccos(u)\] Hasta es posible ver dicha integral de un poco más complicada sin importar que sea positiva (arcoseno) u negativa (arcocoseno): \[\int \pm \frac{f'(u)du}{\sqrt{1-[f(u)]^{2}}}\] Sólo en esos casos podemos conocer algunas integrales que podemos resolver, pero existen otras integrales que con un cambio de variable, u organización de términos especifico, puede darnos en términos de arcoseno u arcocoseno, un ejemplo puede ser el siguiente: \[\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}\] Acá simplemente dentro de la raíz cuadrada debemos dejarlo de la forma: 1-término al cuadrado para que nos quede fácil de identificar, y así se pueda hacer fácil la integración: \[\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}\left(1-\frac{u^{2}}{a^{2}}\right)}}\] El término $a^{2}$, sale de la raíz cuadrada como $a$,  \[\frac{1}{a}\int...
Publicar un comentario
Leer más