Ir al contenido principal

Demostración ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con Wronskiano

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 47 de ecuaciones diferenciales de segundo orden homogeneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
El problema es el siguiente:
Sean $y_{1}$ y $y_{2}$ dos soluciones de:
\[a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}y=0\]
(a) Sí $W(y_{1},y_{2})$ es el wronskiano de $y_{1}$ y $y_{2}$, demuestre que
\[a_{2}(x)\frac{dW}{dx}+a_{1}(x)W=0\]
Como $y_{1}$ y $y_{2}$ son soluciones de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden, luego también deben ser soluciones de las ecuaciones diferenciales:
\[a_{2}(x)y_{1}''+a_{1}(x)y_{1}'+a_{0}y_{1}=0\]
\[a_{2}(x)y_{2}''+a_{1}(x)y_{2}'+a_{0}y_{2}=0\]
El wronskiano es de la forma:
\[W(y_{1},y_{2})=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2}\\y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}\]
\[W(y_{1},y_{2})=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'\]
La derivada del Wronskiano es:
\[\frac{dW}{dx}=(y_{1}y_{2}')'-(y_{2}y_{1}')'\]
\[=y_{1}y_{2}''-y_{2}y_{1}''\]
Reemplazamos dichos resultados en nuestra ecuación diferencial que involucra el wronskiano:
\[a_{2}(x)[y_{1}y_{2}''-y_{2}y_{1}'']+a_{1}(x)[y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}']=0\]
Distribuimos y factorizamos respecto a $y_{1}$ y $y_{2}$:
\[y_{1}[a_{2}(x)y_{2}''+a_{1}(x)y_{2}']-y_{2}[a_{2}(x)y_{1}''+a_{1}(x)y_{1}']=0\]
Pero como $y_{1}$ y $y_{2}$ satisfacen las ecuaciones mostradas al inicio, despejamos la segunda derivada en cada caso:
\[a_{2}(x)y_{1}''=-a_{1}(x)y_{1}'-a_{0}y_{1}\]
\[a_{2}(x)y_{2}''=-a_{1}(x)y_{2}'-a_{0}y_{2}\]
Reemplazamos y demostramos que se cumple la igualdad:
\[-a_{0}(x)y_{1}y_{2}+a_{0}(x)y_{1}y_{2}=0\]
(b) Deduzca la fórmula de Abel
\[W=ce^{-\int \frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}\]
A partir de la ecuación diferencial que involucra el Wronskiano, dividimos entre $a_{2}(x)$ y aplicamos el factor integrante $\mu=e^{\int p(x)dx}$:
\[e^{\int \frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}\frac{dW}{dx}+e^{\int \frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}W=0\]
Está ecuación diferencial puede representarse como una derivada de dos funciones:
\[\frac{d}{dx}\left(e^{\int \frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}W\right)=0\]
Integramos:
\[e^{\int \frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}W=c\]
Despejamos el Wronskiano, y hallamos finalmente la fórmula de Abel:
\[W=ce^{-\int \frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}\]


Etiquetas:

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Problema de probabilidad 1

A un mono se le dan 9 bloques: 3 en forma de cuadrados ,3 como rectángulos y 3 como triángulos. si saca tres de cada clase en orden, es decir, tres triángulos, luego la misma cantidad de cuadrados y así sucesivamente. ¿ sospecharía usted que el mono asoció figuras que tengan forma idéntica?. calcule la probabilidad de este evento. Como tenemos 3 figuras, debemos tener en cuenta todas las posibles formas de organizarlas, Luego una forma de representar este orden es de la siguiente manera: Tomamos $C$ como Cuadrado, $R$ como Rectángulo, y $T$ como Triángulo \[CRT \quad RTC \quad TCR\] \[CTR \quad RCT \quad TRC\] Que corresponden a $6$ formas de organizar las tres figuras, este procedimiento se puede representar fácilmente con la operación factorial, para nuestro caso queda definido como: \[3!=3 \times 2 \times 1 = 6\] Luego por cada vez que el mono saca tres bloques, estos vendrán organizados de $3!$ formas, y como son 3 tandas de veces que el mono va a sacar cantidades
Publicar un comentario
Leer más

¿Cómo resolver la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple con gravedad?

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje y, y además está en presencia de la gravedad, su ecuación diferencial es la siguiente: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=g\] Esta es una ecuación diferencial no homogénea y la vamos a resolver por el método de variación de parámetros. Para este método necesitamos resolver la ecuación diferencial homogenea: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=0\] Que ya la hemos resuelto en este enlace  aunque resuelta con la coordenada $x$, pero eso no va a importar, porque va a ser la misma solución, solo que cambiamos de $x$ a $y$: \[y(t)=c_{1}cos(\omega t)+c_{2}sen(\omega t)\] Para resolver la ecuación diferencial debemos hallar el wronskiano: \[W(f(t),g(t))=\begin{vmatrix}f(t) & g(t)\\f'(t) & g'(t)\end{vmatrix}\] Identificamos las funciones $f(t)=c_{1}cos(\omega t)$ y $g(t)=c_{2}sen(\omega t)$, hallamos las derivadas $f'(t)=-c_{1}\omega sen(\omega t)$ y $g'(t)=c_{
Publicar un comentario
Leer más

¿Cómo realizar una sustitución para integrar una función en términos de arcoseno?

La integral que queremos resolver es la siguiente: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}\] Realizamos un cambio de variable de la siguiente forma: \[\frac{k}{2E}x^{2}=y^{2}\] Para poder hallar la derivada sacamos raíz cuadrada a ambos términos: \[\sqrt{\frac{k}{2E}}x=y\] Sacamos las derivadas y obtenemos: \[\sqrt{\frac{k}{2E}}dx=dy\] Luego pasando el factor que multiplica el $dx$ al lado del dy: \[dx=\sqrt{\frac{2E}{k}}dy\] Por tanto la integral queda de la forma: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\sqrt{\frac{2E}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}\] \[\sqrt{\frac{m}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}\] Que corresponde a una integral de arcoseno, por lo tanto la respuesta nos queda como: \[\sqrt{\frac{m}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen(y)+C\] Deshaciendo el cambio de variable, obtenemos finalmente el resultado de nuestra integral: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcse
Publicar un comentario
Leer más