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¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneas? 5

 A petición de una suscriptora, el problema de hoy es resolver la siguiente ecuación diferencial homogénea de primer orden:

[xycos(yx)+x2sen(yx)]y=y2cos(yx)

Para simplificar el problema podemos dividir toda la expresión por y2cos(yx), además de cambiar y=dydx:

[xy+x2y2cot(yx)]dydx=1

[xy+x2y2cot(yx)]dy=dx

Ahora realizamos el siguiente cambio de variable y=ux, y sus correspondientes derivadas dy=udx+xdu, luego se cumpliran las siguientes igualdades respecto del cambio de variable u=yx, 1u=xy que reemplazaremos en nuestra ecuación diferencial para poder distribuir:

[1u+1u2cot(u)](udx+xdu)=dx

dx+xudu+cot(u)udx+xu2cot(u)du=dx

Agrupando respecto a xdu, donde el término 1ucot(u)dx pasa al otro lado de la igualdad, veremos que hay términos que pueden ser cancelados:

[1u+cot(u)u2]xdu=1ucot(u)dx

[1+cot(u)u]xdu=cot(u)dx

Podemos realizar separación de variables si dividimos toda la expresión por cot(u) y x:

[tan(u)+1u]du=dxx

Finalmente integramos para obtener la respuesta a nuestro problema:

[tan(u)+1u]du=dxx

La integral de tan(u) (función tangente) ya la hemos encontrado anteriormente en nuestro caso para escribir la respuesta de las integrales:

ln[sec(u)]+ln[u]=ln[x]+C

Deshaciendo el cambio de variable encontramos ahora sí la respuesta a nuestra ecuación diferencial homogénea de primer orden:

ln[sec(yx)]+ln[yx]=ln[x]+C





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