A petición de una suscriptora, el problema de hoy es resolver la siguiente ecuación diferencial homogénea de primer orden:
[xycos(yx)+x2sen(yx)]y′=y2cos(yx)
Para simplificar el problema podemos dividir toda la expresión por y2cos(yx), además de cambiar y′=dydx:
[xy+x2y2cot(yx)]dydx=1
[xy+x2y2cot(yx)]dy=dx
Ahora realizamos el siguiente cambio de variable y=ux, y sus correspondientes derivadas dy=udx+xdu, luego se cumpliran las siguientes igualdades respecto del cambio de variable u=yx, 1u=xy que reemplazaremos en nuestra ecuación diferencial para poder distribuir:
[1u+1u2cot(u)](udx+xdu)=dx
dx+xudu+cot(u)udx+xu2cot(u)du=dx
Agrupando respecto a xdu, donde el término 1ucot(u)dx pasa al otro lado de la igualdad, veremos que hay términos que pueden ser cancelados:
[1u+cot(u)u2]xdu=−1ucot(u)dx
[1+cot(u)u]xdu=−cot(u)dx
Podemos realizar separación de variables si dividimos toda la expresión por cot(u) y x:
[tan(u)+1u]du=−dxx
Finalmente integramos para obtener la respuesta a nuestro problema:
∫[tan(u)+1u]du=−∫dxx
La integral de tan(u) (función tangente) ya la hemos encontrado anteriormente en nuestro caso para escribir la respuesta de las integrales:
ln[sec(u)]+ln[u]=−ln[x]+C
Deshaciendo el cambio de variable encontramos ahora sí la respuesta a nuestra ecuación diferencial homogénea de primer orden:
ln[sec(yx)]+ln[yx]=−ln[x]+C
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