¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneas? 5

 A petición de una suscriptora, el problema de hoy es resolver la siguiente ecuación diferencial homogénea de primer orden:

\[\left[xycos\left(\frac{y}{x}\right)+x^{2}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]y'=y^{2}cos\left(\frac{y}{x}\right)\]

Para simplificar el problema podemos dividir toda la expresión por $y^{2}cos\left(\frac{y}{x}\right)$, además de cambiar $y'=\frac{dy}{dx}$:

\[\left[\frac{x}{y}+\frac{x^{2}}{y^{2}}cot\left(\frac{y}{x}\right)\right]\frac{dy}{dx}=1\]

\[\left[\frac{x}{y}+\frac{x^{2}}{y^{2}}cot\left(\frac{y}{x}\right)\right]dy=dx\]

Ahora realizamos el siguiente cambio de variable $y=ux$, y sus correspondientes derivadas $dy=udx+xdu$, luego se cumpliran las siguientes igualdades respecto del cambio de variable $u=\frac{y}{x}$, $\frac{1}{u}=\frac{x}{y}$ que reemplazaremos en nuestra ecuación diferencial para poder distribuir:

\[\left[\frac{1}{u}+\frac{1}{u^{2}}cot\left(u\right)\right](udx+xdu)=dx\]

\[dx+\frac{x}{u}du+\frac{cot(u)}{u}dx+\frac{x}{u^{2}}cot(u)du=dx\]

Agrupando respecto a $xdu$, donde el término $\frac{1}{u}cot(u)dx$ pasa al otro lado de la igualdad, veremos que hay términos que pueden ser cancelados:

\[\left[\frac{1}{u}+\frac{cot(u)}{u^{2}}\right]xdu=-\frac{1}{u}cot(u)dx\]

\[\left[1+\frac{cot(u)}{u}\right]xdu=-cot(u)dx\]

Podemos realizar separación de variables si dividimos toda la expresión por $cot(u)$ y $x$:

\[\left[tan(u)+\frac{1}{u}\right]du=-\frac{dx}{x}\]

Finalmente integramos para obtener la respuesta a nuestro problema:

\[\int \left[tan(u)+\frac{1}{u}\right]du=-\int \frac{dx}{x}\]

La integral de $tan(u)$ (función tangente) ya la hemos encontrado anteriormente en nuestro caso para escribir la respuesta de las integrales:

\[ln[sec(u)]+ln[u]=-ln[x]+C\]

Deshaciendo el cambio de variable encontramos ahora sí la respuesta a nuestra ecuación diferencial homogénea de primer orden:

\[ln\left[sec\left(\frac{y}{x}\right)\right]+ln\left[\frac{y}{x}\right]=-ln[x]+C\]