¿Cómo son las integrales del tipo arcoseno o arcocoseno?

Del curso de Cálculo Integral aprendemos que las integrales de tipo arcoseno u arcocoseno son de la forma:

\[\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}=arcsen(u)\]

ó

\[\int -\frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}=arccos(u)\]

Hasta es posible ver dicha integral de un poco más complicada sin importar que sea positiva (arcoseno) u negativa (arcocoseno):

\[\int \pm \frac{f'(u)du}{\sqrt{1-[f(u)]^{2}}}\]

Sólo en esos casos podemos conocer algunas integrales que podemos resolver, pero existen otras integrales que con un cambio de variable, u organización de términos especifico, puede darnos en términos de arcoseno u arcocoseno, un ejemplo puede ser el siguiente:

\[\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}\]

Acá simplemente dentro de la raíz cuadrada debemos dejarlo de la forma: 1-término al cuadrado para que nos quede fácil de identificar, y así se pueda hacer fácil la integración:

\[\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}\left(1-\frac{u^{2}}{a^{2}}\right)}}\]

El término $a^{2}$, sale de la raíz cuadrada como $a$, 

\[\frac{1}{a}\int \frac{du}{\sqrt{\left(1-\frac{u^{2}}{a^{2}}\right)}}\]

realizamos un cambio de variable de acuerdo a la forma de la función indicada anteriormente: $p=\frac{u}{a}$ y su derivada $dp=\frac{du}{a}$, que es igual a $adp=du$, así la integral queda de la forma:

\[\frac{a}{a}\int \frac{dp}{\sqrt{\left(1-p^{2}\right)}}\]

Realizamos la integración, y deshacemos el cambio de variable:

\[\int \frac{dp}{\sqrt{\left(1-p^{2}\right)}}=arcsen(p)=arcsen\left(\frac{u}{a}\right)\]

Realizando este ejemplo, solucionamos otra clase de integral con los arcos que estamos tratando y es la siguiente y su correspondiente resultado:

\[\int \frac{du}{\sqrt{\left(1-\frac{u^{2}}{a^{2}}\right)}}=a \cdot arcsen\left(\frac{u}{a}\right)\]

Un ejercicio similar lo encontramos en el siguiente enlace.

Hasta el momento la única restricción para la constante $a^{2}$ debe ser positiva, de lo contrario no podemos obtener el resultado que hemos venido hablando hoy.

Además podemos encontrar una integral de la siguiente forma:

\[\int \frac{du}{\sqrt{(a+u)(a-u)}}\]

Donde en la raíz cuadrada encontramos la expresión algebraica: $(a+u)(a-u)$, que representa una diferencia de cuadrados: $a^{2}-u^{2}$, y volvemos a encontrar la integral de antes, que ya sabemos cuál es su resultado:

\[\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}\]

Hasta este punto podríamos decir que ya todo está hecho, y cerramos la pestaña y nos vamos a dormir, pero quizá a alguno de ustedes se le ocurra el siguiente pequeño cambio en las constantes:

\[\int \frac{du}{\sqrt{(a+u)(b-u)}}\]

Realizamos la distribución de los términos dentro de la raíz cuadrada, y para sorpresa de algunos, (o quizás no) encontramos lo siguiente: $(a+u)(b-u)=ab-au+bu-u^{2}$, que podemos expresar cómo: $ab+(b-a)u-u^{2}$, así queda está nueva integral para resolver:

\[\int \frac{du}{\sqrt{ab+(b-a)u-u^{2}}}\]

Esa expresión dentro de la raíz cuadrada es la ya conocida ecuación cuadrática, que para nuestro caso podemos expresar como un binomio al cuadrado más un término adicional:

\[\alpha u^{2}+\beta u+\gamma=\left(\sqrt{\alpha}u+\frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}}\right)^{2}+\left(\gamma-\frac{\beta^{2}}{4\alpha}\right)\]

(Donde conservamos la función en términos de $u$, y cambiamos a letras griegas para evitar confusiones)

Ahora les mostraré en que casos, no es posible obtener un resultado en términos de arcoseno (arcsen) u arcocoseno (arccos):

1 Cuando $\gamma$ es negativo.

2 $\alpha$ es distinta a la forma $\alpha^{2n}$ con $n$ un número entero en los siguientes casos:

2.1 Cuando $\beta$ es negativo.

2.2 Cuando $\beta$ y $\gamma$ son negativos.

2.3 Cuando $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ son positivos.

Luego los casos en que si se puede representar en términos de arcoseno u arcocoseno son:

1 Cuando $\gamma$ es positivo.

2 $\alpha$ toma la forma $\alpha^{2n}$ con $n$ un número entero en los siguientes casos:

2.1 Cuando $\beta$ es negativo.

2.2 Cuando $\beta$ y $\gamma$ son negativos.

2.3 Cuando $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ son positivos.

Ahora veamos como queda el resultado en cada uno de los casos:

I. Cuando $\alpha$ es negativo:

\[\int \frac{du}{\sqrt{-\alpha u^{2}+\beta u+\gamma}}\]

Debemos factorizar el menos, para poder dejarlo como una función del tipo arcoseno u arcocoseno y reemplazar los valores como vimos en la expresión anterior:

\[\int \frac{du}{\sqrt{-(\alpha u^{2}-\beta u-\gamma)}}=\int \frac{du}{\sqrt{-\left[\left(\sqrt{\alpha}u-\frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}}\right)^{2}+\left(-\gamma-\frac{\beta^{2}}{4\alpha}\right)\right]}}\]

Resulta de la siguiente forma:

\[\int \frac{du}{\sqrt{-\left[\left(\sqrt{\alpha}u-\frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}}\right)^{2}+\left(-\gamma-\frac{\beta^{2}}{4\alpha}\right)\right]}}=\int \frac{du}{\sqrt{-\left[\left(\sqrt{\alpha}u-\frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}}\right)^{2}-\left(\gamma+\frac{\beta^{2}}{4\alpha}\right)\right]}}\]

Operamos el signo menos fuera del parentesis cuadrado y empezamos a darle forma a la integral:

\[\int \frac{du}{\sqrt{\left(\gamma+\frac{\beta^{2}}{4\alpha}\right)-\left(\sqrt{\alpha}u-\frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}}\right)^{2}}}\]

Sacamos factor común $\gamma+\frac{\beta^{2}}{4\alpha}$:

\[\int \frac{du}{\sqrt{\left(\gamma+\frac{\beta^{2}}{4\alpha}\right)\left(1-\frac{\left(\sqrt{\alpha}u-\frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}}\right)^{2}}{\gamma+\frac{\beta^{2}}{4\alpha}}\right)}}=\int \frac{du}{\sqrt{\gamma+\frac{\beta^{2}}{4\alpha}}\sqrt{\left(1-\frac{\left(\sqrt{\alpha}u-\frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}}\right)^{2}}{\gamma+\frac{\beta^{2}}{4\alpha}}\right)}}\]

Hacemos un cambio de variable como hicimos al inicio $p^{2}=\frac{\left(\sqrt{\alpha}u-\frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}}\right)^{2}}{\gamma+\frac{\beta^{2}}{4\alpha}}$, la igualdad se cumple si sacamos raíz cuadrada en ambos términos $p=\frac{\left(\sqrt{\alpha}u-\frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}}\right)}{\sqrt{\gamma+\frac{\beta^{2}}{4\alpha}}}$, y sus derivadas $dp=\frac{\sqrt{\alpha}du}{\sqrt{\gamma+\frac{\beta^{2}}{4\alpha}}}$, para que concuerde con nuestra integral será $\frac{1}{\sqrt{\alpha}}dp=\frac{du}{\sqrt{\gamma+\frac{\beta^{2}}{4\alpha}}}$; y es así como finalmente hemos reducido mediante unos cambios sencillos a nuestra integral, en la forma de un arcoseno:

\[\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\int \frac{dp}{\sqrt{1-p^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\alpha}}arcsen(p)\]

Si deshacemos el cambio de variable finalmente llegamos a la respuesta de nuestra integral:

\[\int \frac{du}{\sqrt{-\alpha u^{2}+\beta u+\gamma}}=\frac{1}{\sqrt{\alpha}}arcsen\left(\frac{\left(\sqrt{\alpha}u-\frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}}\right)}{\sqrt{\gamma+\frac{\beta^{2}}{4\alpha}}}\right)\]

Para los siguientes casos, hago el mismo procedimiento, y por lo tanto solo mostrare los resultados.

II. Cuando $\beta$ es negativo:

Para este caso es válido como se menciono anteriormente sí $\alpha=\alpha^{2n}$:

\[\int \frac{du}{\sqrt{\alpha u^{2}-\beta u+\gamma}}=\frac{1}{\alpha^{n}}arcsen\left(\frac{\left(\alpha^{n}u+\frac{\beta}{2\alpha^{n}}\right)}{\sqrt{\gamma-\frac{\beta^{2}}{4\alpha^{2n}}}}\right)\]

III. Cuando $\alpha$ y $\beta$ son negativos:

\[\int \frac{du}{\sqrt{-\alpha u^{2}-\beta u+\gamma}}=\frac{1}{\sqrt{\alpha}}arcsen\left(\frac{\left(\sqrt{\alpha}u+\frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}}\right)}{\sqrt{\gamma+\frac{\beta^{2}}{4\alpha}}}\right)\]

IV. Cuando $\alpha$ y $\gamma$ son negativos:

\[\int \frac{du}{\sqrt{-\alpha u^{2}+\beta u-\gamma}}=\frac{1}{\sqrt{\alpha}}arcsen\left(\frac{\left(\sqrt{\alpha}u-\frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}}\right)}{\sqrt{\gamma+\frac{\beta^{2}}{4\alpha}}}\right)\]

V. Cuando $\beta$ y $\gamma$ son negativos:

Sí $\alpha=\alpha^{2n}$

\[\int \frac{du}{\sqrt{\alpha u^{2}-\beta u-\gamma}}=\frac{1}{\sqrt{\alpha}}arccos\left(\frac{\left(\frac{\beta}{2\alpha^{n}}-\alpha^{n}u\right)}{\sqrt{\gamma+\frac{\beta^{2}}{4\alpha^{2n}}}}\right)\]

VI. Cuando $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ son positivos:

Sí $\alpha=\alpha^{2n}$

\[\int \frac{du}{\sqrt{\alpha u^{2}-\beta u-\gamma}}=\frac{1}{\sqrt{\alpha}}arccos\left(\frac{\left(\frac{\beta}{2\alpha^{n}}-\alpha^{n}u\right)}{\sqrt{\gamma-\frac{\beta^{2}}{4\alpha^{2n}}}}\right)\]

VII. Cuando $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ son negativos:

\[\int \frac{du}{\sqrt{-\alpha u^{2}-\beta u-\gamma}}=\frac{1}{\sqrt{\alpha}}arcsen\left(\frac{\left(\sqrt{\alpha}u-\frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}}\right)}{\sqrt{\gamma+\frac{\beta^{2}}{4\alpha}}}\right)\]

Finalmente para poder descansar tranquilos de estas integrales, vamos a generalizar un poco el resultado, y es como sigue:

Toda integral de la siguiente forma:

\[\int \frac{f'(u)du}{\sqrt{\alpha [f(u)]^{2}+\beta f(u)+\gamma}}\]

Con $f(u)$ cualquier función que tenga aunque sea primera derivada, puede colocarse en términos de arcoseno u arcocoseno, si cumple las condiciones descritas anteriormente.

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