¿Cuál es la integral de tangente?

La integral que queremos resolver es la siguiente:
$$\int tan(x)dx$$
Podemos expresarla de acuerdo a la razón trigonométrica $tan(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}$:
$$\int \frac{sen(x)}{cos(x)}dx$$
Podemos hacer una sustitución $u=cos(x)$, $du=-sen(x)$, pasamos el menos al otro lado $-du=sen(x)$
Y nos queda la siguiente integral, que corresponde a un logaritmo natural:
$$-\int \frac{du}{u}=-ln(u)+C$$
Que por propiedades de los logaritmos:
$$-ln(u)+C=ln(u^{-1})+C$$
Deshacemos el cambio de variable y finalmente encontramos la respuesta a nuestra integral:
$$\int tan(x)dx=ln(cos(x)^{-1})+C$$
$$\int tan(x)dx=ln(sec(x))+C$$