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¿Cuál es la integral de tangente?

La integral que queremos resolver es la siguiente:
\[\int tan(x)dx\]
Podemos expresarla de acuerdo a la razón trigonométrica $tan(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}$:
\[\int \frac{sen(x)}{cos(x)}dx\]
Podemos hacer una sustitución $u=cos(x)$, $du=-sen(x)$, pasamos el menos al otro lado $-du=sen(x)$
Y nos queda la siguiente integral, que corresponde a un logaritmo natural:
\[-\int \frac{du}{u}=-ln(u)+C\]
Que por propiedades de los logaritmos:
\[-ln(u)+C=ln(u^{-1})+C\]
Deshacemos el cambio de variable y finalmente encontramos la respuesta a nuestra integral:
\[\int tan(x)dx=ln(cos(x)^{-1})+C\]
\[\int tan(x)dx=ln(sec(x))+C\]
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