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¿Cómo realizar una sustitución para integrar una función en términos de arcoseno?

La integral que queremos resolver es la siguiente:
\[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}\]
Realizamos un cambio de variable de la siguiente forma:
\[\frac{k}{2E}x^{2}=y^{2}\]
Para poder hallar la derivada sacamos raíz cuadrada a ambos términos:
\[\sqrt{\frac{k}{2E}}x=y\]
Sacamos las derivadas y obtenemos:
\[\sqrt{\frac{k}{2E}}dx=dy\]
Luego pasando el factor que multiplica el $dx$ al lado del dy:
\[dx=\sqrt{\frac{2E}{k}}dy\]
Por tanto la integral queda de la forma:
\[\sqrt{\frac{m}{2E}}\sqrt{\frac{2E}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}\]
\[\sqrt{\frac{m}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}\]
Que corresponde a una integral de arcoseno, por lo tanto la respuesta nos queda como:
\[\sqrt{\frac{m}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen(y)+C\]
Deshaciendo el cambio de variable, obtenemos finalmente el resultado de nuestra integral:
\[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}x\right)+C\]

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