¿Cómo realizar una sustitución para integrar una función en términos de arcoseno?

La integral que queremos resolver es la siguiente:
$$\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}$$
Realizamos un cambio de variable de la siguiente forma:
$$\frac{k}{2E}x^{2}=y^{2}$$
Para poder hallar la derivada sacamos raíz cuadrada a ambos términos:
$$\sqrt{\frac{k}{2E}}x=y$$
Sacamos las derivadas y obtenemos:
$$\sqrt{\frac{k}{2E}}dx=dy$$
Luego pasando el factor que multiplica el $dx$ al lado del dy:
$$dx=\sqrt{\frac{2E}{k}}dy$$
Por tanto la integral queda de la forma:
$$\sqrt{\frac{m}{2E}}\sqrt{\frac{2E}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}$$
$$\sqrt{\frac{m}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}$$
Que corresponde a una integral de arcoseno, por lo tanto la respuesta nos queda como:
$$\sqrt{\frac{m}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen(y)+C$$
Deshaciendo el cambio de variable, obtenemos finalmente el resultado de nuestra integral:
$$\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}x\right)+C$$