Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

 A petición de un suscriptor y seguidor voy a mostrar dos ejercicios para el cálculo del centro de masa con integrales dobles, comencemos: El segundo ejercicio es: 2. Calcular el centro de masa de una lámina representada por la región $R$ que se encuentra por encima del eje $x$ y entre las líneas $y=x$; $y=-x$, $x^{2}+y^{2}=4y$; $x^{2}+y^{2}=6y$; $y>0$; donde la densidad es $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ Primero vamos a representar el área, al cuál vamos a hallar el centro de masa (voy a utilizar Geogebra). Este problema resulta más simple si lo resolvemos mediante coordenadas polares, así que la densidad $\rho(x,y)$ en coordenadas polares de acuerdo a las reglas de transformación $x=rcos\theta$ y $y=rsen\theta$ es: $$\rho(x,y)=\rho(rcos\theta,rsen\theta)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(rcos\theta)^{2}+(rsen\theta)^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r$$ Como vimos en el primer ejercicio , las integrales que tiene cada punto del centro de masa se pueden representar en coordenadas polares, escogemos este tipo de ...

 En esta vez vamos a realizar la siguiente integral: $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{5}\theta d\theta$$ Vamos a aplicar el mismo método que aplicamos cuándo resolvimos la integral con la función $sen^{3}\theta$ : $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}(1-cos^{2}\theta)^{2}sen\theta d\theta$$ Sí $u=cos\theta$, $du=-sen\theta d\theta$, $-du=sen\theta d\theta$, y los límites de integración quedarán de la misma forma que en la integración con $sen^{3}\theta$ , así nuestra integral y su respuesta quedan cómo (realizando la respectiva integral y su evaluación, se deja como ejercicio al lector): $$-\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}(1-u^{2})^{2}du=-\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}(1-2u^{2}+u^{4})du=\frac{28\sqrt{2}}{15}$$

Es nuestro turno de resolver la siguiente integral definida: $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{4}\theta d\theta$$ De acuerdo a lo visto en la publicación para una integración definida con $sen^{2}\theta$ : $$sen^{2}\theta=\frac{1-cos(2\theta)}{2}$$ Así la función $sen^{4}\theta$ puede representarse como: $$sen^{4}\theta=(sen^{2})^{2}=\left(\frac{1-cos(2\theta)}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}-\frac{cos(2\theta)}{2}+\frac{cos(4\theta)}{8}$$ Reemplazamos: $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{4}\theta d\theta=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\left(\frac{3}{8}-\frac{cos(2\theta)}{2}+\frac{cos(4\theta)}{8}\right)d\theta$$ Integramos y evaluamos, para darnos la siguiente respuesta: $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{4}\theta d\theta=\frac{3\pi+8}{16}$$

 Ahora les voy a mostrar como realizar la siguiente integral definida: $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{3}\theta d\theta$$ Está integral también se puede representar cómo: $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta sen\theta d\theta$$ Por la identidad trigonométrica fundamental: $$sen^{2}\theta+cos^{2}\theta=1$$ $$sen^{2}\theta=1-cos^{2}\theta$$ Reemplazamos en nuestra integral: $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}(1-cos^{2}\theta) sen\theta d\theta$$ Hacemos una sustitución de la forma $u^{2}=cos^{2}\theta$, $u=cos\theta$, $du=-sen\theta d\theta$, $-du=sen\theta d\theta$, además para el límite inferior sí $\theta=\frac{\pi}{4}$, $u=cos\theta=cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, y para el límite superior sí $\theta=\frac{3\pi}{4}$, $u=cos\theta=cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, así la integral y su respuesta toman la forma: $$-\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}(1-u^{2})du=\frac{5\sqrt{2}}{6}$$

 En esta oportunidad les voy a mostrar como realizar la integral definida siguiente: $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta d\theta$$ Si es el caso que no recuerdas como reducir está integral a una más fácil, lo mejor es recordar la identidad del coseno para ángulos dobles: $$cos(a\pm b)=cos(a)cos(b)\mp sen(a)sen(b)$$ Sí el angulo $a=b$, la identidad queda de la forma (válida sólo para la suma de ángulos): $$cos(2a)=cos^{2}(a)- sen^{2}(a)$$ Comparamos con nuestra función $sen^{2}\theta$: $$cos(2\theta)=cos^{2}(\theta)- sen^{2}(\theta)$$ Por la identidad fundamental (o pitagórica): $$sen^{2}(\theta)+cos^{2}(\theta)=1$$ $$cos^{2}(\theta)=1-sen^{2}(\theta)$$ Reemplazamos en nuestra identidad para el ángulo doble: $$cos(2\theta)=1-sen^{2}(\theta)- sen^{2}(\theta)$$ $$cos(2\theta)=1-2sen^{2}(\theta)$$ Ahora es posible representar el valor de $sen^{2}\theta$ en términos del coseno para ángulos dobles: $$sen^{2}\theta=\frac{1-cos(2\theta)}{2}$$ Y la integral también será igu...

A petición de un suscriptor y seguidor voy a mostrar dos ejercicios para el cálculo del centro de masa con integrales dobles, comencemos: El primer ejercicio es: 1. Hallar el centro de masa de una lámina que tiene la forma de la región en el primer cuadrante limitada por la circunferencia $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ y los ejes coordenados, la densidad varía con la suma de las distancias, desde las aristas rectas. Primero vamos a representar el área, al cuál vamos a hallar el centro de masa (voy a utilizar Geogebra). Dicha región en verde corresponde a un cuarto de circunferencia, así la forma de hallar el centro de masa está dada por las formulas: $$\bar{x}=\frac{\int \int_R x\rho(x,y)dxdy}{\int \int_R \rho(x,y)dxdy}\quad \wedge\quad \bar{y}=\frac{\int \int_R y\rho(x,y)dxdy}{\int \int_R \rho(x,y)dxdy}$$ Antes de utilizar las expresiones anteriores debemos saber como es la forma de $\rho(x,y)$, y de acuerdo al enunciado corresponde a la suma de las distancias, así que la podemos expresar cómo: ...

 A petición de una suscriptora, vamos a resolver la siguiente ecuación diferencial exacta: $$\left[sen(y)+\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]dx+\left[xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]dy=0$$   Con respuesta R: $xsen(y)+cos\left(\frac{y}{x}\right)=c$ Para este caso ya nos dan la respuesta, pero igualmente es bueno comprobar que la ecuación diferencial es exacta, de acuerdo a la forma canónica que tienen: $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ Se debe cumplir que $$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$$ Con $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$ Así: $$\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}$$ Comparando con nuestra ecuación diferencial $$\left[sen(y)+\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]=M(x,y) \wedge \left[xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]=N(x,y)$$ Calculamos sus derivadas parciales: \[\frac{\partial M(x,y)}{\partia...

Debido a la petición de una suscriptora y seguidora, he decidido realizar tres ejercicios referentes al tema de convolución que estarán explicados y desarrollados a continuación, eso sí, debo aclarar que son un poco largos, pero intentaré que sea lo más claro posible, comencemos con el primero de los ejercicios: (a) sean $\alpha$, $k$ dos constantes reales, encuentre una relación entre estas dos constantes de modo que se tenga la siguiente igualdad: $$e^{t}\ast cos(\alpha t)=k(e^{t}-cos(\alpha t)+\alpha sen(\alpha t))$$ Recordamos que la convolución de dos funciones es igual a: $$f(t)\ast g(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau)d\tau$$ y por lo tanto su transformada de Laplace: $$\mathscr{L}[f(t)\ast g(t)]=\mathscr{L}[f(t)]\mathscr{L}[g(t)]$$ Así, que para nuestro caso aplicamos el anterior resultado y tenemos: $$\mathscr{L}[e^{t}\ast cos(\alpha t)]=\mathscr{L}[k(e^{t}-cos(\alpha t)+\alpha sen(\alpha t))]$$ Primero nos vamos a ocupar de la parte izquierda de la igualdad,  \[\mathscr{L}[e^...