¿Cuál es la integral definida de $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta d\theta$?

 En esta oportunidad les voy a mostrar como realizar la integral definida siguiente:

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta d\theta$$

Si es el caso que no recuerdas como reducir está integral a una más fácil, lo mejor es recordar la identidad del coseno para ángulos dobles:

$$cos(a\pm b)=cos(a)cos(b)\mp sen(a)sen(b)$$

Sí el angulo $a=b$, la identidad queda de la forma (válida sólo para la suma de ángulos):

$$cos(2a)=cos^{2}(a)- sen^{2}(a)$$

Comparamos con nuestra función $sen^{2}\theta$:

$$cos(2\theta)=cos^{2}(\theta)- sen^{2}(\theta)$$

Por la identidad fundamental (o pitagórica):

$$sen^{2}(\theta)+cos^{2}(\theta)=1$$

$$cos^{2}(\theta)=1-sen^{2}(\theta)$$

Reemplazamos en nuestra identidad para el ángulo doble:

$$cos(2\theta)=1-sen^{2}(\theta)- sen^{2}(\theta)$$

$$cos(2\theta)=1-2sen^{2}(\theta)$$

Ahora es posible representar el valor de $sen^{2}\theta$ en términos del coseno para ángulos dobles:

$$sen^{2}\theta=\frac{1-cos(2\theta)}{2}$$

Y la integral también será igual (es lo que queríamos desde un principio):

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{1-cos(2\theta)}{2}$$

Por linealidad:

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta d\theta=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{1}{2}d\theta-\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{cos(2\theta)}{2}d\theta$$

La respuesta a la primera parte de la integral, es fundamental:

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{1}{2}d\theta=\frac{\pi}{4}$$

Para la segunda integral, hay dos caminos para resolverla, uno es resolver la integral por sustitución, para finalmente deshacer el cambio de variable, y realizar la respectiva evaluación en los límites de integración, y el segundo camino es aprovechar el hecho de que es una integral definida y cambiar los límites de integración al momento de hacer el cambio de variable (lo que voy a mostrar), e integrar (da el mismo resultado por el camino que vayan a integrar):

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{cos(2\theta)}{2}d\theta$$

Sí $u=2\theta$, su derivada $du=2d\theta$, $\frac{du}{2}=d\theta$, además sí para el límite inferior $\theta=\frac{\pi}{4}$, $u=2\theta=2\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}$, y para el límite superior: $\theta=\frac{3\pi}{4}$, $u=2\theta=2\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{3\pi}{2}$, así finalmente la integral toma la forma con su respectiva respuesta:

$$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{cos(u)}{4}du=-\frac{1}{2}$$

Por lo tanto la respuesta final a nuestra integral es:

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta d\theta=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}$$