Ir al contenido principal

¿Cuál es la integral definida de $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta d\theta$?

 En esta oportunidad les voy a mostrar como realizar la integral definida siguiente:

\[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta d\theta\]

Si es el caso que no recuerdas como reducir está integral a una más fácil, lo mejor es recordar la identidad del coseno para ángulos dobles:

\[cos(a\pm b)=cos(a)cos(b)\mp sen(a)sen(b)\]

Sí el angulo $a=b$, la identidad queda de la forma (válida sólo para la suma de ángulos):

\[cos(2a)=cos^{2}(a)- sen^{2}(a)\]

Comparamos con nuestra función $sen^{2}\theta$:

\[cos(2\theta)=cos^{2}(\theta)- sen^{2}(\theta)\]

Por la identidad fundamental (o pitagórica):

\[sen^{2}(\theta)+cos^{2}(\theta)=1\]

\[cos^{2}(\theta)=1-sen^{2}(\theta)\]

Reemplazamos en nuestra identidad para el ángulo doble:

\[cos(2\theta)=1-sen^{2}(\theta)- sen^{2}(\theta)\]

\[cos(2\theta)=1-2sen^{2}(\theta)\]

Ahora es posible representar el valor de $sen^{2}\theta$ en términos del coseno para ángulos dobles:

\[sen^{2}\theta=\frac{1-cos(2\theta)}{2}\]

Y la integral también será igual (es lo que queríamos desde un principio):

\[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{1-cos(2\theta)}{2}\]

Por linealidad:

\[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta d\theta=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{1}{2}d\theta-\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{cos(2\theta)}{2}d\theta\]

La respuesta a la primera parte de la integral, es fundamental:

\[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{1}{2}d\theta=\frac{\pi}{4}\]

Para la segunda integral, hay dos caminos para resolverla, uno es resolver la integral por sustitución, para finalmente deshacer el cambio de variable, y realizar la respectiva evaluación en los límites de integración, y el segundo camino es aprovechar el hecho de que es una integral definida y cambiar los límites de integración al momento de hacer el cambio de variable (lo que voy a mostrar), e integrar (da el mismo resultado por el camino que vayan a integrar):

\[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{cos(2\theta)}{2}d\theta\]

Sí $u=2\theta$, su derivada $du=2d\theta$, $\frac{du}{2}=d\theta$, además sí para el límite inferior $\theta=\frac{\pi}{4}$, $u=2\theta=2\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}$, y para el límite superior: $\theta=\frac{3\pi}{4}$, $u=2\theta=2\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{3\pi}{2}$, así finalmente la integral toma la forma con su respectiva respuesta:

\[\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{cos(u)}{4}du=-\frac{1}{2}\]

Por lo tanto la respuesta final a nuestra integral es:

\[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta d\theta=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\]




Etiquetas:

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Problema de probabilidad 1

A un mono se le dan 9 bloques: 3 en forma de cuadrados ,3 como rectángulos y 3 como triángulos. si saca tres de cada clase en orden, es decir, tres triángulos, luego la misma cantidad de cuadrados y así sucesivamente. ¿ sospecharía usted que el mono asoció figuras que tengan forma idéntica?. calcule la probabilidad de este evento. Como tenemos 3 figuras, debemos tener en cuenta todas las posibles formas de organizarlas, Luego una forma de representar este orden es de la siguiente manera: Tomamos $C$ como Cuadrado, $R$ como Rectángulo, y $T$ como Triángulo \[CRT \quad RTC \quad TCR\] \[CTR \quad RCT \quad TRC\] Que corresponden a $6$ formas de organizar las tres figuras, este procedimiento se puede representar fácilmente con la operación factorial, para nuestro caso queda definido como: \[3!=3 \times 2 \times 1 = 6\] Luego por cada vez que el mono saca tres bloques, estos vendrán organizados de $3!$ formas, y como son 3 tandas de veces que el mono va a sacar cantidades
Publicar un comentario
Leer más

¿Cómo resolver la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple con gravedad?

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje y, y además está en presencia de la gravedad, su ecuación diferencial es la siguiente: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=g\] Esta es una ecuación diferencial no homogénea y la vamos a resolver por el método de variación de parámetros. Para este método necesitamos resolver la ecuación diferencial homogenea: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=0\] Que ya la hemos resuelto en este enlace  aunque resuelta con la coordenada $x$, pero eso no va a importar, porque va a ser la misma solución, solo que cambiamos de $x$ a $y$: \[y(t)=c_{1}cos(\omega t)+c_{2}sen(\omega t)\] Para resolver la ecuación diferencial debemos hallar el wronskiano: \[W(f(t),g(t))=\begin{vmatrix}f(t) & g(t)\\f'(t) & g'(t)\end{vmatrix}\] Identificamos las funciones $f(t)=c_{1}cos(\omega t)$ y $g(t)=c_{2}sen(\omega t)$, hallamos las derivadas $f'(t)=-c_{1}\omega sen(\omega t)$ y $g'(t)=c_{
Publicar un comentario
Leer más

¿Cómo realizar una sustitución para integrar una función en términos de arcoseno?

La integral que queremos resolver es la siguiente: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}\] Realizamos un cambio de variable de la siguiente forma: \[\frac{k}{2E}x^{2}=y^{2}\] Para poder hallar la derivada sacamos raíz cuadrada a ambos términos: \[\sqrt{\frac{k}{2E}}x=y\] Sacamos las derivadas y obtenemos: \[\sqrt{\frac{k}{2E}}dx=dy\] Luego pasando el factor que multiplica el $dx$ al lado del dy: \[dx=\sqrt{\frac{2E}{k}}dy\] Por tanto la integral queda de la forma: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\sqrt{\frac{2E}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}\] \[\sqrt{\frac{m}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}\] Que corresponde a una integral de arcoseno, por lo tanto la respuesta nos queda como: \[\sqrt{\frac{m}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen(y)+C\] Deshaciendo el cambio de variable, obtenemos finalmente el resultado de nuestra integral: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcse
Publicar un comentario
Leer más