¿Cuál es la integral definida de $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{4}\theta d\theta$?

Es nuestro turno de resolver la siguiente integral definida:

\[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{4}\theta d\theta\]

De acuerdo a lo visto en la publicación para una integración definida con $sen^{2}\theta$:

\[sen^{2}\theta=\frac{1-cos(2\theta)}{2}\]

Así la función $sen^{4}\theta$ puede representarse como:

\[sen^{4}\theta=(sen^{2})^{2}=\left(\frac{1-cos(2\theta)}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}-\frac{cos(2\theta)}{2}+\frac{cos(4\theta)}{8}\]

Reemplazamos:

\[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{4}\theta d\theta=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\left(\frac{3}{8}-\frac{cos(2\theta)}{2}+\frac{cos(4\theta)}{8}\right)d\theta\]

Integramos y evaluamos, para darnos la siguiente respuesta:

\[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{4}\theta d\theta=\frac{3\pi+8}{16}\]