¿Cómo hallar la relación entre las constantes mediante convolución de funciones?

Debido a la petición de una suscriptora y seguidora, he decidido realizar tres ejercicios referentes al tema de convolución que estarán explicados y desarrollados a continuación, eso sí, debo aclarar que son un poco largos, pero intentaré que sea lo más claro posible, comencemos con el primero de los ejercicios:

(a) sean $\alpha$, $k$ dos constantes reales, encuentre una relación entre estas dos constantes de modo que se tenga la siguiente igualdad:

\[e^{t}\ast cos(\alpha t)=k(e^{t}-cos(\alpha t)+\alpha sen(\alpha t))\]

Recordamos que la convolución de dos funciones es igual a:

\[f(t)\ast g(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau)d\tau\]

y por lo tanto su transformada de Laplace:

\[\mathscr{L}[f(t)\ast g(t)]=\mathscr{L}[f(t)]\mathscr{L}[g(t)]\]

Así, que para nuestro caso aplicamos el anterior resultado y tenemos:

\[\mathscr{L}[e^{t}\ast cos(\alpha t)]=\mathscr{L}[k(e^{t}-cos(\alpha t)+\alpha sen(\alpha t))]\]

Primero nos vamos a ocupar de la parte izquierda de la igualdad, 

\[\mathscr{L}[e^{t}\ast cos(\alpha t)]=\mathscr{L}[e^{t}]\mathscr{L}[cos(\alpha t)]\]

Así que obtenemos dichas transformadas:

\[\mathscr{L}[e^{t}]\mathscr{L}[cos(\alpha t)]=\left(\frac{1}{s-1}\right)\left(\frac{s}{s^{2}-\alpha^{2}}\right)\]

Ahora para la parte derecha del igual, de acuerdo a la linealidad de la transformada de Laplace:

\[\mathscr{L}[k(e^{t}-cos(\alpha t)+\alpha sen(\alpha t))]=k(\mathscr{L}[e^{t}]-\mathscr{L}[cos(\alpha t)]+\mathscr{L}[\alpha sen(\alpha t)])\]

\[=k(\mathscr{L}[e^{t}]-\mathscr{L}[cos(\alpha t)]+\alpha\mathscr{L}[ sen(\alpha t)])\]

Aplicamos nuevamente la transformada de Laplace:

\[=k\left[\left(\frac{1}{s-1}\right)-\left(\frac{s}{s^{2}-\alpha^{2}}\right)+\alpha\left(\frac{\alpha}{s^{2}+\alpha^{2}}\right)\right]\]

Igualamos términos y procedemos a hacer la suma

\[\left(\frac{1}{s-1}\right)\left(\frac{s}{s^{2}-\alpha^{2}}\right)=k\left[\left(\frac{1}{s-1}\right)-\left(\frac{s}{s^{2}-\alpha^{2}}\right)+\alpha\left(\frac{\alpha}{s^{2}+\alpha^{2}}\right)\right]\]

\[\frac{s}{(s-1)(s^{2}-\alpha^{2})}=k\left[\frac{(s^{2}-\alpha^{2})(s^{2}+\alpha^{2})-s(s-1)(s^{2}+\alpha^{2})+\alpha(s-1)(s^{2}-\alpha^{2})}{(s-1)(s^{2}-\alpha^{2})(s^{2}+\alpha^{2})}\right]\]

Que se puede factorizar, para poder hallar el valor más conveniente de la constante $\alpha$ en términos de $k$:

\[\frac{s}{(s-1)(s^{2}-\alpha^{2})}=k\left[\frac{(s^{2}-\alpha^{2})(s^{2}+\alpha^{2})-(s-1)(s(s^{2}+\alpha^{2})+\alpha(s^{2}-\alpha^{2}))}{(s-1)(s^{2}-\alpha^{2})(s^{2}+\alpha^{2})}\right]\]

Además algunos términos los podemos cancelar en los denominadores de la expresión del lado izquierdo, como del lado derecho:

\[s=k\left[\frac{(s^{2}-\alpha^{2})(s^{2}+\alpha^{2})-(s-1)(s(s^{2}+\alpha^{2})+\alpha(s^{2}-\alpha^{2}))}{(s^{2}+\alpha^{2})}\right]\]

El valor de $s$, que puede darnos la relación de las constantes que necesitamos es $s=1$, porque en $s=0$, $k=0$, al igual que $\alpha$, así que el valor que puede tomar $s$, para que no se anulen las constantes es $s=1$ y se nos reduce a la siguiente expresión:

\[1=\frac{k[(1-\alpha^{2})(1+\alpha^{2})]}{(1+\alpha^{2})}\]

\[1=k(1-\alpha^{2})\]

De está ultima expresión es posible hallar la relación entre las constantes:

\[k=\frac{1}{1-\alpha^{2}}\]

Por lo tanto la igualdad la expresamos de la siguiente manera:

\[e^{t}\ast cos(\alpha t)=\frac{1}{1-\alpha^{2}}(e^{t}-cos(\alpha t)+\alpha sen(\alpha t))\]