Debido a la petición de una suscriptora y seguidora, he decidido realizar tres ejercicios referentes al tema de convolución que estarán explicados y desarrollados a continuación, eso sí, debo aclarar que son un poco largos, pero intentaré que sea lo más claro posible, comencemos con el primero de los ejercicios:
(a) sean α, k dos constantes reales, encuentre una relación entre estas dos constantes de modo que se tenga la siguiente igualdad:
et∗cos(αt)=k(et−cos(αt)+αsen(αt))
Recordamos que la convolución de dos funciones es igual a:
f(t)∗g(t)=∫t0f(τ)g(t−τ)dτ
y por lo tanto su transformada de Laplace:
L[f(t)∗g(t)]=L[f(t)]L[g(t)]
Así, que para nuestro caso aplicamos el anterior resultado y tenemos:
L[et∗cos(αt)]=L[k(et−cos(αt)+αsen(αt))]
Primero nos vamos a ocupar de la parte izquierda de la igualdad,
L[et∗cos(αt)]=L[et]L[cos(αt)]
Así que obtenemos dichas transformadas:
L[et]L[cos(αt)]=(1s−1)(ss2−α2)
Ahora para la parte derecha del igual, de acuerdo a la linealidad de la transformada de Laplace:
L[k(et−cos(αt)+αsen(αt))]=k(L[et]−L[cos(αt)]+L[αsen(αt)])
=k(L[et]−L[cos(αt)]+αL[sen(αt)])
Aplicamos nuevamente la transformada de Laplace:
=k[(1s−1)−(ss2−α2)+α(αs2+α2)]
Igualamos términos y procedemos a hacer la suma
(1s−1)(ss2−α2)=k[(1s−1)−(ss2−α2)+α(αs2+α2)]
s(s−1)(s2−α2)=k[(s2−α2)(s2+α2)−s(s−1)(s2+α2)+α(s−1)(s2−α2)(s−1)(s2−α2)(s2+α2)]
Que se puede factorizar, para poder hallar el valor más conveniente de la constante α en términos de k:
s(s−1)(s2−α2)=k[(s2−α2)(s2+α2)−(s−1)(s(s2+α2)+α(s2−α2))(s−1)(s2−α2)(s2+α2)]
Además algunos términos los podemos cancelar en los denominadores de la expresión del lado izquierdo, como del lado derecho:
s=k[(s2−α2)(s2+α2)−(s−1)(s(s2+α2)+α(s2−α2))(s2+α2)]
El valor de s, que puede darnos la relación de las constantes que necesitamos es s=1, porque en s=0, k=0, al igual que α, así que el valor que puede tomar s, para que no se anulen las constantes es s=1 y se nos reduce a la siguiente expresión:
1=k[(1−α2)(1+α2)](1+α2)
1=k(1−α2)
De está ultima expresión es posible hallar la relación entre las constantes:
k=11−α2
Por lo tanto la igualdad la expresamos de la siguiente manera:
et∗cos(αt)=11−α2(et−cos(αt)+αsen(αt))
Comentarios
Publicar un comentario