Processing math: 100%
Ir al contenido principal

¿Cómo hallar la relación entre las constantes mediante convolución de funciones?

Debido a la petición de una suscriptora y seguidora, he decidido realizar tres ejercicios referentes al tema de convolución que estarán explicados y desarrollados a continuación, eso sí, debo aclarar que son un poco largos, pero intentaré que sea lo más claro posible, comencemos con el primero de los ejercicios:

(a) sean α, k dos constantes reales, encuentre una relación entre estas dos constantes de modo que se tenga la siguiente igualdad:

etcos(αt)=k(etcos(αt)+αsen(αt))

Recordamos que la convolución de dos funciones es igual a:

f(t)g(t)=t0f(τ)g(tτ)dτ

y por lo tanto su transformada de Laplace:

L[f(t)g(t)]=L[f(t)]L[g(t)]

Así, que para nuestro caso aplicamos el anterior resultado y tenemos:

L[etcos(αt)]=L[k(etcos(αt)+αsen(αt))]

Primero nos vamos a ocupar de la parte izquierda de la igualdad, 

L[etcos(αt)]=L[et]L[cos(αt)]

Así que obtenemos dichas transformadas:

L[et]L[cos(αt)]=(1s1)(ss2α2)

Ahora para la parte derecha del igual, de acuerdo a la linealidad de la transformada de Laplace:

L[k(etcos(αt)+αsen(αt))]=k(L[et]L[cos(αt)]+L[αsen(αt)])

=k(L[et]L[cos(αt)]+αL[sen(αt)])

Aplicamos nuevamente la transformada de Laplace:

=k[(1s1)(ss2α2)+α(αs2+α2)]

Igualamos términos y procedemos a hacer la suma

(1s1)(ss2α2)=k[(1s1)(ss2α2)+α(αs2+α2)]

s(s1)(s2α2)=k[(s2α2)(s2+α2)s(s1)(s2+α2)+α(s1)(s2α2)(s1)(s2α2)(s2+α2)]

Que se puede factorizar, para poder hallar el valor más conveniente de la constante α en términos de k:

s(s1)(s2α2)=k[(s2α2)(s2+α2)(s1)(s(s2+α2)+α(s2α2))(s1)(s2α2)(s2+α2)]

Además algunos términos los podemos cancelar en los denominadores de la expresión del lado izquierdo, como del lado derecho:

s=k[(s2α2)(s2+α2)(s1)(s(s2+α2)+α(s2α2))(s2+α2)]

El valor de s, que puede darnos la relación de las constantes que necesitamos es s=1, porque en s=0, k=0, al igual que α, así que el valor que puede tomar s, para que no se anulen las constantes es s=1 y se nos reduce a la siguiente expresión:

1=k[(1α2)(1+α2)](1+α2)

1=k(1α2)

De está ultima expresión es posible hallar la relación entre las constantes:

k=11α2

Por lo tanto la igualdad la expresamos de la siguiente manera:

etcos(αt)=11α2(etcos(αt)+αsen(αt))

Comentarios

Entradas populares de este blog

¿Cuál es la integral de sen(2x)?

Nuestra integral a resolver está vez es la siguiente: sen(2x)dx
Podemos realizar la siguiente sustitución u=2x, du=2dx, entonces du2=dx, así la integral nos queda de la forma: 12sen(u)du
Que corresponde a una integral fundamental: 12sen(u)du=12cos(u)+C
Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la respuesta a nuestra integral: 12cos(2x)+C

¿Cómo resolver la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple con gravedad?

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje y, y además está en presencia de la gravedad, su ecuación diferencial es la siguiente: ¨y+ω2y=g
Esta es una ecuación diferencial no homogénea y la vamos a resolver por el método de variación de parámetros. Para este método necesitamos resolver la ecuación diferencial homogenea: ¨y+ω2y=0
Que ya la hemos resuelto en este enlace  aunque resuelta con la coordenada x, pero eso no va a importar, porque va a ser la misma solución, solo que cambiamos de x a y: y(t)=c1cos(ωt)+c2sen(ωt)
Para resolver la ecuación diferencial debemos hallar el wronskiano: W(f(t),g(t))=|f(t)g(t)f(t)g(t)|
Identificamos las funciones f(t)=c1cos(ωt) y g(t)=c2sen(ωt), hallamos las derivadas f(t)=c1ωsen(ωt) y $g'(t)=c_{...

Problema de probabilidad 1

A un mono se le dan 9 bloques: 3 en forma de cuadrados ,3 como rectángulos y 3 como triángulos. si saca tres de cada clase en orden, es decir, tres triángulos, luego la misma cantidad de cuadrados y así sucesivamente. ¿ sospecharía usted que el mono asoció figuras que tengan forma idéntica?. calcule la probabilidad de este evento. Como tenemos 3 figuras, debemos tener en cuenta todas las posibles formas de organizarlas, Luego una forma de representar este orden es de la siguiente manera: Tomamos C como Cuadrado, R como Rectángulo, y T como Triángulo CRTRTCTCR
CTRRCTTRC
Que corresponden a 6 formas de organizar las tres figuras, este procedimiento se puede representar fácilmente con la operación factorial, para nuestro caso queda definido como: 3!=3×2×1=6
Luego por cada vez que el mono saca tres bloques, estos vendrán organizados de 3! formas, y como son 3 tandas de veces que el mono va a sacar cantidades...