¿Cómo hallar el centro de masa de una lámina con integrales dobles? 2

 A petición de un suscriptor y seguidor voy a mostrar dos ejercicios para el cálculo del centro de masa con integrales dobles, comencemos:

El segundo ejercicio es:

2. Calcular el centro de masa de una lámina representada por la región $R$ que se encuentra por encima del eje $x$ y entre las líneas

$y=x$; $y=-x$, $x^{2}+y^{2}=4y$; $x^{2}+y^{2}=6y$; $y>0$; donde la densidad es $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

Primero vamos a representar el área, al cuál vamos a hallar el centro de masa (voy a utilizar Geogebra).

Este problema resulta más simple si lo resolvemos mediante coordenadas polares, así que la densidad $\rho(x,y)$ en coordenadas polares de acuerdo a las reglas de transformación $x=rcos\theta$ y $y=rsen\theta$ es:

\[\rho(x,y)=\rho(rcos\theta,rsen\theta)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(rcos\theta)^{2}+(rsen\theta)^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r\]

Como vimos en el primer ejercicio, las integrales que tiene cada punto del centro de masa se pueden representar en coordenadas polares, escogemos este tipo de coordenadas porque las rectas tienen relación con los ángulos $\frac{\pi}{4}$ y $\frac{3\pi}{4}$, esto por la coordenada $\theta$, respecto a la coordenada $r$, vamos a ver los límites de integración respecto a r, por comparación de las funciones:

\[x^{2}+y^{2}=4y \quad \wedge \quad x^{2}+y^{2}=6y\]

Igualamos a cero y pasamos a coordenadas polares:

\[x^{2}+y^{2}-4y=0 \quad \wedge \quad x^{2}+y^{2}-6y=0\]

\[(rcos\theta)^{2}+(rsen\theta)^{2}-4rsen\theta=0\quad \wedge \quad(rcos\theta)^{2}+(rsen\theta)^{2}-6rsen\theta=0 \]

\[r^{2}-4rsen\theta=0\quad \wedge \quad r^{2}-6rsen\theta=0\]

Por lo tanto:

\[r^{2}-4rsen\theta<r^{2}-6rsen\theta\]

\[4rsen\theta<6rsen\theta\]

\[4<6\]

\[2<3\]

Es a partir de está ultima desigualdad que integramos desde $r^{2}-4rsen\theta$ hasta $r^{2}-6rsen\theta$, que está de acuerdo con la condición $y>0$, y corresponde a nuestra área en verde, así la integral respecto a la densidad en coordenadas polares queda de la forma:

\[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\int_{r^{2}-4rsen\theta}^{r^{2}-6rsen\theta}r^{2}drd\theta\]

Integrando respecto a $r$:

\[\frac{1}{3}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}[(r^{2}-4rsen\theta)^{3}-(r^{2}-4rsen\theta)^{3}]d\theta\]

Para integrar respecto a theta, vamos a encontrar integrales del tipo $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen\theta d\theta$, $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta d\theta$, y $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{3}\theta d\theta$, por lo tanto obtenemos el siguiente resultado para la integral doble respecto a la densidad:

\[\int\int_R \rho(x,y)dxdy=r^{3}\left(-2\sqrt{2}r^{2}-5(\pi+2)r-\frac{76\sqrt{2}}{9}\right)\]

Ahora calculamos:

\[\int\int_R x\rho(x,y)dxdy=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\int_{r^{2}-4rsen\theta}^{r^{2}-6rsen\theta}r^{3}cos\theta drd\theta\]

Integrando nuevamente respecto a r:

\[\frac{1}{4}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}[(r^{2}-4rsen\theta)^{4}cos\theta-(r^{2}-4rsen\theta)^{3}cos\theta]d\theta\]

Sí hacemos un cambio de variable para $u=r^{2}-6rsen\theta$, o para $u=r^{2}-4rsen\theta$, realizando los cambios necesarios, nos damos cuenta que el valor de la integral respecto a $\theta$ es cero:

\[\frac{1}{4}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}[(r^{2}-4rsen\theta)^{4}cos\theta-(r^{2}-4rsen\theta)^{3}cos\theta]d\theta=0\]

Ahora realizamos la siguiente y última doble integral:

\[\int\int_R y\rho(x,y)dxdy=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\int_{r^{2}-4rsen\theta}^{r^{2}-6rsen\theta}r^{3}sen\theta drd\theta\]

Integramos respecto a $r$:

\[\frac{1}{4}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}[(r^{2}-4rsen\theta)^{4}sen\theta-(r^{2}-4rsen\theta)^{3}sen\theta]d\theta\]

Realizando está integral, nos encontraremos con integrales del tipo: $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta d\theta$, $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{3}\theta d\theta$, $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{4}\theta d\theta$ y $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{5}\theta d\theta$, luego llegamos a la respuesta de nuestra integral:

\[\int\int_R y\rho(x,y)dxdy=r^{4}\left(-\left(\frac{\pi+2}{2}\right)r^{3}+25\sqrt{2}r^{2}-\frac{19}{8}(3\pi+8)r+\frac{1456\sqrt{2}}{3}\right)\]

Finalmente podemos hallar los puntos donde se encuentran el centro de masa de nuestra lámina:

\[\bar{x}=0\quad \wedge \quad \bar{y}=\frac{r\left(-\left(\frac{\pi+2}{2}\right)r^{3}+25\sqrt{2}r^{2}-\frac{19}{8}(3\pi+8)r+\frac{1456\sqrt{2}}{3}\right)}{\left(-2\sqrt{2}r^{2}-5(\pi+2)r-\frac{76\sqrt{2}}{9}\right)}\]