A petición de un suscriptor y seguidor voy a mostrar dos ejercicios para el cálculo del centro de masa con integrales dobles, comencemos:
El segundo ejercicio es:
2. Calcular el centro de masa de una lámina representada por la región R que se encuentra por encima del eje x y entre las líneas
y=x; y=−x, x2+y2=4y; x2+y2=6y; y>0; donde la densidad es √x2+y2
Primero vamos a representar el área, al cuál vamos a hallar el centro de masa (voy a utilizar Geogebra).
Este problema resulta más simple si lo resolvemos mediante coordenadas polares, así que la densidad ρ(x,y) en coordenadas polares de acuerdo a las reglas de transformación x=rcosθ y y=rsenθ es:
ρ(x,y)=ρ(rcosθ,rsenθ)=√x2+y2=√(rcosθ)2+(rsenθ)2=√r2=r
Como vimos en el primer ejercicio, las integrales que tiene cada punto del centro de masa se pueden representar en coordenadas polares, escogemos este tipo de coordenadas porque las rectas tienen relación con los ángulos π4 y 3π4, esto por la coordenada θ, respecto a la coordenada r, vamos a ver los límites de integración respecto a r, por comparación de las funciones:
x2+y2=4y∧x2+y2=6y
Igualamos a cero y pasamos a coordenadas polares:
x2+y2−4y=0∧x2+y2−6y=0
(rcosθ)2+(rsenθ)2−4rsenθ=0∧(rcosθ)2+(rsenθ)2−6rsenθ=0
r2−4rsenθ=0∧r2−6rsenθ=0
Por lo tanto:
r2−4rsenθ<r2−6rsenθ
4rsenθ<6rsenθ
4<6
2<3
Es a partir de está ultima desigualdad que integramos desde r2−4rsenθ hasta r2−6rsenθ, que está de acuerdo con la condición y>0, y corresponde a nuestra área en verde, así la integral respecto a la densidad en coordenadas polares queda de la forma:
∫3π4π4∫r2−6rsenθr2−4rsenθr2drdθ
Integrando respecto a r:
13∫3π4π4[(r2−4rsenθ)3−(r2−4rsenθ)3]dθ
Para integrar respecto a theta, vamos a encontrar integrales del tipo ∫3π4π4senθdθ, ∫3π4π4sen2θdθ, y ∫3π4π4sen3θdθ, por lo tanto obtenemos el siguiente resultado para la integral doble respecto a la densidad:
∫∫Rρ(x,y)dxdy=r3(−2√2r2−5(π+2)r−76√29)
Ahora calculamos:
∫∫Rxρ(x,y)dxdy=∫3π4π4∫r2−6rsenθr2−4rsenθr3cosθdrdθ
Integrando nuevamente respecto a r:
14∫3π4π4[(r2−4rsenθ)4cosθ−(r2−4rsenθ)3cosθ]dθ
Sí hacemos un cambio de variable para u=r2−6rsenθ, o para u=r2−4rsenθ, realizando los cambios necesarios, nos damos cuenta que el valor de la integral respecto a θ es cero:
14∫3π4π4[(r2−4rsenθ)4cosθ−(r2−4rsenθ)3cosθ]dθ=0
Ahora realizamos la siguiente y última doble integral:
∫∫Ryρ(x,y)dxdy=∫3π4π4∫r2−6rsenθr2−4rsenθr3senθdrdθ
Integramos respecto a r:
14∫3π4π4[(r2−4rsenθ)4senθ−(r2−4rsenθ)3senθ]dθ
Realizando está integral, nos encontraremos con integrales del tipo: ∫3π4π4sen2θdθ, ∫3π4π4sen3θdθ, ∫3π4π4sen4θdθ y ∫3π4π4sen5θdθ, luego llegamos a la respuesta de nuestra integral:
∫∫Ryρ(x,y)dxdy=r4(−(π+22)r3+25√2r2−198(3π+8)r+1456√23)
Finalmente podemos hallar los puntos donde se encuentran el centro de masa de nuestra lámina:
ˉx=0∧ˉy=r(−(π+22)r3+25√2r2−198(3π+8)r+1456√23)(−2√2r2−5(π+2)r−76√29)
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