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¿Cómo hallar el centro de masa de una lámina con integrales dobles? 2

 A petición de un suscriptor y seguidor voy a mostrar dos ejercicios para el cálculo del centro de masa con integrales dobles, comencemos:

El segundo ejercicio es:

2. Calcular el centro de masa de una lámina representada por la región R que se encuentra por encima del eje x y entre las líneas

y=x; y=x, x2+y2=4y; x2+y2=6y; y>0; donde la densidad es x2+y2

Primero vamos a representar el área, al cuál vamos a hallar el centro de masa (voy a utilizar Geogebra).

Este problema resulta más simple si lo resolvemos mediante coordenadas polares, así que la densidad ρ(x,y) en coordenadas polares de acuerdo a las reglas de transformación x=rcosθ y y=rsenθ es:
ρ(x,y)=ρ(rcosθ,rsenθ)=x2+y2=(rcosθ)2+(rsenθ)2=r2=r
Como vimos en el primer ejercicio, las integrales que tiene cada punto del centro de masa se pueden representar en coordenadas polares, escogemos este tipo de coordenadas porque las rectas tienen relación con los ángulos π4 y 3π4, esto por la coordenada θ, respecto a la coordenada r, vamos a ver los límites de integración respecto a r, por comparación de las funciones:
x2+y2=4yx2+y2=6y
Igualamos a cero y pasamos a coordenadas polares:
x2+y24y=0x2+y26y=0
(rcosθ)2+(rsenθ)24rsenθ=0(rcosθ)2+(rsenθ)26rsenθ=0
r24rsenθ=0r26rsenθ=0
Por lo tanto:
r24rsenθ<r26rsenθ
4rsenθ<6rsenθ
4<6
2<3
Es a partir de está ultima desigualdad que integramos desde r24rsenθ hasta r26rsenθ, que está de acuerdo con la condición y>0, y corresponde a nuestra área en verde, así la integral respecto a la densidad en coordenadas polares queda de la forma:
3π4π4r26rsenθr24rsenθr2drdθ
Integrando respecto a r:
133π4π4[(r24rsenθ)3(r24rsenθ)3]dθ
Para integrar respecto a theta, vamos a encontrar integrales del tipo 3π4π4senθdθ, 3π4π4sen2θdθ, y 3π4π4sen3θdθ, por lo tanto obtenemos el siguiente resultado para la integral doble respecto a la densidad:
Rρ(x,y)dxdy=r3(22r25(π+2)r7629)
Ahora calculamos:
Rxρ(x,y)dxdy=3π4π4r26rsenθr24rsenθr3cosθdrdθ
Integrando nuevamente respecto a r:
143π4π4[(r24rsenθ)4cosθ(r24rsenθ)3cosθ]dθ
Sí hacemos un cambio de variable para u=r26rsenθ, o para u=r24rsenθ, realizando los cambios necesarios, nos damos cuenta que el valor de la integral respecto a θ es cero:
143π4π4[(r24rsenθ)4cosθ(r24rsenθ)3cosθ]dθ=0
Ahora realizamos la siguiente y última doble integral:
Ryρ(x,y)dxdy=3π4π4r26rsenθr24rsenθr3senθdrdθ
Integramos respecto a r:
143π4π4[(r24rsenθ)4senθ(r24rsenθ)3senθ]dθ
Ryρ(x,y)dxdy=r4((π+22)r3+252r2198(3π+8)r+145623)
Finalmente podemos hallar los puntos donde se encuentran el centro de masa de nuestra lámina:
ˉx=0ˉy=r((π+22)r3+252r2198(3π+8)r+145623)(22r25(π+2)r7629)


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