¿Cuál es la integral definida de $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{3}\theta d\theta$?

 Ahora les voy a mostrar como realizar la siguiente integral definida:

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{3}\theta d\theta$$

Está integral también se puede representar cómo:

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta sen\theta d\theta$$

Por la identidad trigonométrica fundamental:

$$sen^{2}\theta+cos^{2}\theta=1$$

$$sen^{2}\theta=1-cos^{2}\theta$$

Reemplazamos en nuestra integral:

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}(1-cos^{2}\theta) sen\theta d\theta$$

Hacemos una sustitución de la forma $u^{2}=cos^{2}\theta$, $u=cos\theta$, $du=-sen\theta d\theta$, $-du=sen\theta d\theta$, además para el límite inferior sí $\theta=\frac{\pi}{4}$, $u=cos\theta=cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, y para el límite superior sí $\theta=\frac{3\pi}{4}$, $u=cos\theta=cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, así la integral y su respuesta toman la forma:

$$-\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}(1-u^{2})du=\frac{5\sqrt{2}}{6}$$