¿Cuál es la integral definida de $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{3}\theta d\theta$?

Ahora les voy a mostrar como realizar la siguiente integral definida:

\[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{3}\theta d\theta\]

Está integral también se puede representar cómo:

\[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta sen\theta d\theta\]

Por la identidad trigonométrica fundamental:

\[sen^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\]

\[sen^{2}\theta=1-cos^{2}\theta\]

Reemplazamos en nuestra integral:

\[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}(1-cos^{2}\theta) sen\theta d\theta\]

Hacemos una sustitución de la forma $u^{2}=cos^{2}\theta$, $u=cos\theta$, $du=-sen\theta d\theta$, $-du=sen\theta d\theta$, además para el límite inferior sí $\theta=\frac{\pi}{4}$, $u=cos\theta=cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, y para el límite superior sí $\theta=\frac{3\pi}{4}$, $u=cos\theta=cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, así la integral y su respuesta toman la forma:

\[-\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}(1-u^{2})du=\frac{5\sqrt{2}}{6}\]

Comentarios

Entradas populares de este blog

¿Cómo resolver la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple con gravedad?

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje y, y además está en presencia de la gravedad, su ecuación diferencial es la siguiente: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=g\] Esta es una ecuación diferencial no homogénea y la vamos a resolver por el método de variación de parámetros. Para este método necesitamos resolver la ecuación diferencial homogenea: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=0\] Que ya la hemos resuelto en este enlace aunque resuelta con la coordenada $x$, pero eso no va a importar, porque va a ser la misma solución, solo que cambiamos de $x$ a $y$: \[y(t)=c_{1}cos(\omega t)+c_{2}sen(\omega t)\] Para resolver la ecuación diferencial debemos hallar el wronskiano: \[W(f(t),g(t))=\begin{vmatrix}f(t) & g(t)\\f'(t) & g'(t)\end{vmatrix}\] Identificamos las funciones $f(t)=c_{1}cos(\omega t)$ y $g(t)=c_{2}sen(\omega t)$, hallamos las derivadas $f'(t)=-c_{1}\omega sen(\omega t)$ y $g'(t)=c_{...

¿Cuál es la integral de sen(2x)?

Nuestra integral a resolver está vez es la siguiente: \[\int sen(2x)dx\] Podemos realizar la siguiente sustitución $u=2x$, $du=2dx$, entonces $\frac{du}{2}=dx$, así la integral nos queda de la forma: \[\frac{1}{2}\int sen(u)du\] Que corresponde a una integral fundamental: \[\frac{1}{2}\int sen(u)du=-\frac{1}{2}cos(u)+C\] Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la respuesta a nuestra integral: \[-\frac{1}{2}cos(2x)+C\]

¿Cómo resolver la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple?

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje x, y su ecuación diferencial es la siguiente: \[\ddot{x}+\omega^{2}x=0\] Podemos ver que la ecuación corresponde a una ecuación diferencial homogénea, así que proponemos una solución de la forma $x=e^{mt}$ y hallamos sus derivadas $\dot{x}=me^{mt}$, $\ddot{x}=m^{2}e^{mt}$, reemplazamos en nuestra ecuación diferencial: \[m^{2}e^{mt}+\omega^{2}e^{mt}=0\] Sacando factor común $e^{mt}$: \[e^{mt}(m^{2}+\omega^{2})=0\] Donde $e^{mt}$ no puede ser cero, entonces lo será el termino entre parentesis y hallamos sus respectivas raíces: \[m^{2}+\omega^{2}=0\] Donde las soluciones son imaginarias y corresponden a: \[m_1=i\omega \quad m-2=-i\omega\] La solución queda expresada como: \[x(t)=e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}\] Aplicamos la identidad de Euler para simplificar mas elegante esta solución: \[e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta\] Nos queda ahora ...

Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

Buscar este blog