¿Cómo hallar el centro de masa de una lámina con integrales dobles? 1

A petición de un suscriptor y seguidor voy a mostrar dos ejercicios para el cálculo del centro de masa con integrales dobles, comencemos:

El primer ejercicio es:

1. Hallar el centro de masa de una lámina que tiene la forma de la región en el primer cuadrante limitada por la circunferencia $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ y los ejes coordenados, la densidad varía con la suma de las distancias, desde las aristas rectas.

Primero vamos a representar el área, al cuál vamos a hallar el centro de masa (voy a utilizar Geogebra).

Dicha región en verde corresponde a un cuarto de circunferencia, así la forma de hallar el centro de masa está dada por las formulas:

$$\bar{x}=\frac{\int \int_R x\rho(x,y)dxdy}{\int \int_R \rho(x,y)dxdy}\quad \wedge\quad \bar{y}=\frac{\int \int_R y\rho(x,y)dxdy}{\int \int_R \rho(x,y)dxdy}$$

Antes de utilizar las expresiones anteriores debemos saber como es la forma de $\rho(x,y)$, y de acuerdo al enunciado corresponde a la suma de las distancias, así que la podemos expresar cómo:

$$\rho(x,y)=x+y$$

Para integrar sobre toda la lámina, pasamos a coordenadas polares de acuerdo a las leyes de transformación:

$$x=rcos\theta\quad\wedge\quad y=rsen\theta$$

Así $\rho(x,y)$ toma la forma:

$$\rho(x,y)=\rho(rcos\theta,rsen\theta)=r(cos\theta+sen\theta)$$

Y la integral respecto a $\rho(x,y)$ será:

$$\int \int_R\rho(x,y)dxdy=\int \int_R\rho(x(r,\theta),y(r,\theta))\begin{vmatrix}\frac{\partial (x,y)}{\partial(r,\theta)}\end{vmatrix}dr d\theta$$  

Dondé $\begin{vmatrix}\frac{\partial (x,y)}{\partial(r,\theta)}\end{vmatrix}$ corresponde al jacobiano que para este caso esta definido cómo:

$$\begin{vmatrix}\frac{\partial (x,y)}{\partial(r,\theta)}\end{vmatrix}=det\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial r} &\frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} &\frac{\partial y}{\partial \theta}\end{vmatrix}=det\begin{vmatrix}cos\theta & -rsen\theta\\sen\theta &rcos\theta\end{vmatrix}=r$$

Así se transforma la doble integral desde coordenadas rectangulares a polares:

$$\int \int_R\rho(x,y)dxdy=\int\int\rho(rcos\theta,rsen\theta)rdrd\theta$$

El hecho de escoger coordenadas polares me facilita (en este caso) escoger los límites de integración, que corresponden en $\theta$ de $0$ a $\frac{\pi}{2}$ y en $r$ de $0$ a $a$, luego:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{a}\rho(rcos\theta,rsen\theta)rdrd\theta$$

Primero hallamos la doble integral más sencilla, por lo que he visto la más sencilla es aquella donde sólo está $\rho$, y luego integramos la que viene acompañada por $x$ y $y$ (cambiando a coordenadas polares claramente)

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{a}r(cos\theta+sen\theta)rdrd\theta$$

De acuerdo al teorema de fubini el orden por el que vayamos a integrar no va a importar, así que integramos respecto a $r$ primero dejando a $\theta$ constante evaluando en los respectivos límites de integración y finalizando la integración respecto a $\theta$ evaluando finalmente en los límites de integración:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\int_{0}^{a}r^{2}(cos\theta+sen\theta)dr\right]d\theta$$

Realizando la integración fundamental de acuerdo a lo aprendido en los cursos de cálculo integral, con su respectiva evaluación en los límites:

$$\frac{a^{3}}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(cos\theta+sen\theta)d\theta$$

$$\int \int_R\rho(x,y)dxdy=\frac{2a^{3}}{3}$$

Ahora integramos aquellas dos expresiones que nos faltan (transformando a coordenadas polares):

$$\int \int_R x\rho(x,y)dxdy=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{a}rcos\theta\rho(rcos\theta,rsen\theta)rdrd\theta$$

$$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{a}rcos\theta r(cos\theta+sen\theta)rdrd\theta$$

$$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{a}r^{3}(cos^{2}\theta+cos\theta sen\theta)drd\theta$$

Aplicando el teorema de Fubini y realizando la evaluación de cada integral llegamos al resultado:

$$\int \int_R x\rho(x,y)dxdy=\frac{a^{4}}{4}\left[\frac{2\pi-4}{8}\right]$$

y finalmente integramos:

$$\int \int_R y\rho(x,y)dxdy=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{a}rsen\theta\rho(rcos\theta,rsen\theta)rdrd\theta$$

$$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{a}rsen\theta r(cos\theta+sen\theta)rdrd\theta$$

$$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{a}r^{3}(sen\theta cos\theta+ sen^{2}\theta+)drd\theta$$

Volviendo a aplicar el teorema de fubini y realizando la evaluación en cada integral llegamos al resultado:

$$\int \int_R y\rho(x,y)dxdy=\frac{a^{4}}{4}\left[\frac{4-2\pi}{8}\right]$$

Con los resultados podemos hallar finalmente el centro de masa de la lámina:

$$\bar{x}=\frac{\int \int_R x\rho(x,y)dxdy}{\int \int_R \rho(x,y)dxdy}\quad \wedge\quad \bar{y}=\frac{\int \int_R y\rho(x,y)dxdy}{\int \int_R \rho(x,y)dxdy}$$

Realizando el álgebra correspondiente obtenemos los siguientes dos valores:

$$\bar{x}=\frac{3a}{32}\left[\pi-2\right]$$

$$\bar{y}=\frac{3a}{32}\left[2-\pi\right]$$