A petición de una suscriptora, vamos a resolver la siguiente ecuación diferencial exacta:
\[\left[sen(y)+\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]dx+\left[xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]dy=0\]
Con respuesta R: $xsen(y)+cos\left(\frac{y}{x}\right)=c$
Para este caso ya nos dan la respuesta, pero igualmente es bueno comprobar que la ecuación diferencial es exacta, de acuerdo a la forma canónica que tienen:
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\]
Se debe cumplir que
\[\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}\]
Con $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$
Así:
\[\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\]
Comparando con nuestra ecuación diferencial
\[\left[sen(y)+\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]=M(x,y) \wedge \left[xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]=N(x,y)\]
Calculamos sus derivadas parciales:
\[\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left[sen(y)+\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]\]
\[\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=cos(y)+\frac{1}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{y}{x^{3}}cos\left(\frac{y}{x}\right)\]
\[\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left[xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]\]
\[\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}=cos(y)+\frac{1}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{y}{x^{3}}cos\left(\frac{y}{x}\right)\]
Como los valores de las derivadas parciales se corresponden, podemos hallar la función $f$ de acuerdo al método de resolución para ecuaciones diferenciales exactas:
\[f=\int M(x,y)dx+g(y)\]
Con $g(y)$ constante respecto a $x$ (la escogemos por conveniencia, como veremos más adelante)
Reemplazamos con nuestro valor de $M(x,y)$
\[f=\int\left[sen(y)+\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]dx+g(y)\]
Por linealidad de la integral:
\[f=\int sen(y)+\int\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)dx+g(y)\]
En la primera integral la función $sen(y)$ es constante respecto a $x$, así que la tratamos como constante, en cambio para la segunda integral realizamos un sencillo cambio de variable, donde $u=\frac{y}{x}$, y $du=-\frac{y}{x^{2}}dx$
Realizando la integración:
\[f=\int sen(y)+\int\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)dx+g(y)\]
\[f=x sen(y)+\int sen\left(u\right)du+g(y)\]
\[f=x sen(y)+ sen\left(\frac{y}{x}\right)+g(y)\]
Derivamos parcialmente respecto a $y$:
\[\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(x sen(y)+ sen\left(\frac{y}{x}\right)+g(y)\right)\]
\[\frac{\partial f}{\partial y}=xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)+g'(y)\]
Recordando que $N=\frac{\partial f}{\partial y}$ igualamos:
\[xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)=xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)+g'(y)\]
E integramos el resultado respecto a $y$:
\[g'(y)=0\]
\[\int g'(y)dy=\int 0 dy\]
\[g(y)=c\]
Reemplazamos este valor en nuestra función $f$
\[f=xsen(y)+cos\left(\frac{y}{x}\right)+c\]
Y finalmente igualando a cero $c$ sigue siendo constante independiente del signo:
\[xsen(y)+cos\left(\frac{y}{x}\right)=c\]
Finalmente hemos llegado a la respuesta de nuestro problema.
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