¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales exactas? 6

 A petición de una suscriptora, vamos a resolver la siguiente ecuación diferencial exacta:

$$\left[sen(y)+\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]dx+\left[xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]dy=0$$  

Con respuesta R: $xsen(y)+cos\left(\frac{y}{x}\right)=c$

Para este caso ya nos dan la respuesta, pero igualmente es bueno comprobar que la ecuación diferencial es exacta, de acuerdo a la forma canónica que tienen:

$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$

Se debe cumplir que

$$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$$

Con $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$

Así:

$$\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}$$

Comparando con nuestra ecuación diferencial

$$\left[sen(y)+\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]=M(x,y) \wedge \left[xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]=N(x,y)$$

Calculamos sus derivadas parciales:

$$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left[sen(y)+\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]$$

$$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=cos(y)+\frac{1}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{y}{x^{3}}cos\left(\frac{y}{x}\right)$$

$$\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left[xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]$$

$$\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}=cos(y)+\frac{1}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{y}{x^{3}}cos\left(\frac{y}{x}\right)$$

Como los valores de las derivadas parciales se corresponden, podemos hallar la función $f$ de acuerdo al método de resolución para ecuaciones diferenciales exactas:

$$f=\int M(x,y)dx+g(y)$$

Con $g(y)$ constante respecto a $x$ (la escogemos por conveniencia, como veremos más adelante)

Reemplazamos con nuestro valor de $M(x,y)$

$$f=\int\left[sen(y)+\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]dx+g(y)$$

Por linealidad de la integral:

$$f=\int sen(y)+\int\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)dx+g(y)$$

En la primera integral la función $sen(y)$ es constante respecto a $x$, así que la tratamos como constante, en cambio para la segunda integral realizamos un sencillo cambio de variable, donde $u=\frac{y}{x}$, y $du=-\frac{y}{x^{2}}dx$

Realizando la integración:

$$f=\int sen(y)+\int\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)dx+g(y)$$

$$f=x sen(y)+\int sen\left(u\right)du+g(y)$$

$$f=x sen(y)+ sen\left(\frac{y}{x}\right)+g(y)$$

Derivamos parcialmente respecto a $y$:

$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(x sen(y)+ sen\left(\frac{y}{x}\right)+g(y)\right)$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}=xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)+g'(y)$$

Recordando que $N=\frac{\partial f}{\partial y}$ igualamos:

$$xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)=xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)+g'(y)$$

E integramos el resultado respecto a $y$:

$$g'(y)=0$$

$$\int g'(y)dy=\int 0 dy$$

$$g(y)=c$$

Reemplazamos este valor en nuestra función $f$

$$f=xsen(y)+cos\left(\frac{y}{x}\right)+c$$

Y finalmente igualando a cero $c$ sigue siendo constante independiente del signo:

$$xsen(y)+cos\left(\frac{y}{x}\right)=c$$

Finalmente hemos llegado a la respuesta de nuestro problema.