¿Cuál es la integral definida de $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{5}\theta d\theta$?

 En esta vez vamos a realizar la siguiente integral:

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{5}\theta d\theta$$

Vamos a aplicar el mismo método que aplicamos cuándo resolvimos la integral con la función $sen^{3}\theta$:

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}(1-cos^{2}\theta)^{2}sen\theta d\theta$$

Sí $u=cos\theta$, $du=-sen\theta d\theta$, $-du=sen\theta d\theta$, y los límites de integración quedarán de la misma forma que en la integración con $sen^{3}\theta$, así nuestra integral y su respuesta quedan cómo (realizando la respectiva integral y su evaluación, se deja como ejercicio al lector):

$$-\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}(1-u^{2})^{2}du=-\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}(1-2u^{2}+u^{4})du=\frac{28\sqrt{2}}{15}$$