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¿Cómo transformar una solución de una ecuación diferencial con la identidad de Euler?

Nos piden simplificar la siguiente solución de una ecuación diferencial (aunque es válido para simplificar muchas expresiones, sólo que acá muestro el respectivo procedimiento):
y=C1ei3x+C2ei3x

Aplicamos la identidad de Euler:
eiθ=cosθ+isenθ

La solución queda de la forma:
y=C1(cos(3x)+isen(3x))+C2(cos(3x)+isen(3x))

Donde cos(3x)=cos(3x) y sen(3x)=sen(3x):
y=C1(cos(3x)+isen(3x))+C2(cos(3x)isen(3x))

Distribuimos y factorizamos cos(3x) y sen(3x):
y=C1(cos(3x)+isen(3x))+C2(cos(3x)isen(3x))

y=C1cos(3x)+iC1sen(3x)+C2cos(3x)iC2sen(3x)

y=(C1+C2)cos(3x)+(iC1iC2)sen(3x)

Renombramos las constantes: (C1+C2)=c1 y (iC1iC2)=c2, y por lo tanto la solución queda reducida a la forma:
y=c1cos(3x)+c2sen(3x)


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