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¿Cómo transformar una solución de una ecuación diferencial con la identidad de Euler?

Nos piden simplificar la siguiente solución de una ecuación diferencial (aunque es válido para simplificar muchas expresiones, sólo que acá muestro el respectivo procedimiento):
\[y=C_1e^{i3x}+C_2e^{-i3x}\]
Aplicamos la identidad de Euler:
\[e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta\]
La solución queda de la forma:
\[y=C_1(cos(3x)+isen(3x))+C_2(cos(-3x)+isen(-3x))\]
Donde $cos(-3x)=cos(3x)$ y $sen(-3x)=-sen(3x)$:
\[y=C_1(cos(3x)+isen(3x))+C_2(cos(3x)-isen(3x))\]
Distribuimos y factorizamos $cos(3x)$ y $sen(3x)$:
\[y=C_1(cos(3x)+isen(3x))+C_2(cos(3x)-isen(3x))\]
\[y=C_1cos(3x)+iC_1sen(3x)+C_2cos(3x)-iC_2sen(3x)\]
\[y=(C_1+C_2)cos(3x)+(iC_1-iC_2)sen(3x)\]
Renombramos las constantes: $(C_1+C_2)=c_1$ y $(iC_1-iC_2)=c_2$, y por lo tanto la solución queda reducida a la forma:
\[y=c_1cos(3x)+c_2sen(3x)\]

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