Nos piden simplificar la siguiente solución de una ecuación diferencial (aunque es válido para simplificar muchas expresiones, sólo que acá muestro el respectivo procedimiento):
y=C1ei3x+C2e−i3x
Aplicamos la identidad de Euler:
eiθ=cosθ+isenθ
La solución queda de la forma:
y=C1(cos(3x)+isen(3x))+C2(cos(−3x)+isen(−3x))
Donde cos(−3x)=cos(3x) y sen(−3x)=−sen(3x):
y=C1(cos(3x)+isen(3x))+C2(cos(3x)−isen(3x))
Distribuimos y factorizamos cos(3x) y sen(3x):
y=C1(cos(3x)+isen(3x))+C2(cos(3x)−isen(3x))
y=C1cos(3x)+iC1sen(3x)+C2cos(3x)−iC2sen(3x)
y=(C1+C2)cos(3x)+(iC1−iC2)sen(3x)
Renombramos las constantes: (C1+C2)=c1 y (iC1−iC2)=c2, y por lo tanto la solución queda reducida a la forma:
y=c1cos(3x)+c2sen(3x)
y=C1ei3x+C2e−i3x
Aplicamos la identidad de Euler:
eiθ=cosθ+isenθ
La solución queda de la forma:
y=C1(cos(3x)+isen(3x))+C2(cos(−3x)+isen(−3x))
Donde cos(−3x)=cos(3x) y sen(−3x)=−sen(3x):
y=C1(cos(3x)+isen(3x))+C2(cos(3x)−isen(3x))
Distribuimos y factorizamos cos(3x) y sen(3x):
y=C1(cos(3x)+isen(3x))+C2(cos(3x)−isen(3x))
y=C1cos(3x)+iC1sen(3x)+C2cos(3x)−iC2sen(3x)
y=(C1+C2)cos(3x)+(iC1−iC2)sen(3x)
Renombramos las constantes: (C1+C2)=c1 y (iC1−iC2)=c2, y por lo tanto la solución queda reducida a la forma:
y=c1cos(3x)+c2sen(3x)
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