¿Como resolver una ecuación diferencial por el método de series de potencias? 1

La ecuación diferencial a resolver es:
\[y''(x)+8xy'(x)-4y(x)=0\]
Vamos a utilizar el método de series de potencias dado que es una ecuación diferencial ordinaria con parámetros variables, luego proponemos una solución con sus respectivas derivadas hasta segundo orden de la forma:
\[y=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}\]
\[y'=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}nx^{n-1}\]
\[y''=\sum_{n=2}^{\infty}c_{n}n(n-1)x^{n-2}\]
Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial y tenemos:
\[\sum_{n=2}^{\infty}c_{n}n(n-1)x^{n-2}+8x\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}nx^{n-1}-4\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=0\]
El término $x$ del segundo termino afecta a la sumatoria y queda de la forma:
\[\sum_{n=2}^{\infty}c_{n}n(n-1)x^{n-2}+8\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}nx^{n}-4\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=0\]
Luego si hacemos $k=n-2$, y por lo tanto $n=k+2$, para la primera sumatoria y $k=n$ para la segunda y tercera sumatoria, la ecuación anterior me quedara de la forma:
\[\sum_{k=0}^{\infty}c_{k+2}(k+2)(k+1)x^{k}+8\sum_{k=0}^{\infty}c_{k}kx^{k}-4\sum_{k=0}^{\infty}c_{k}x^{k}=0\]
Dado que las sumarias empiezan desde el mismo termino, y que están a la misma potencia es posible escribir el termino anterior como:
\[\sum_{k=0}^{\infty}[c_{k+2}(k+2)(k+1)+8c_{k}k-4c_{k}]x^{k}=0\]
Luego:
\[\sum_{k=0}^{\infty}\underbrace{[c_{k+2}(k+2)(k+1)+8c_{k}k-4c_{k}]}_{=0}\underbrace{x^{k}}_{\neq 0}=0\]
Por lo tanto aquella expresión igual a cero expresa la ecuación característica y vamos a despejar la constante de mayor orden (para nuestro caso $c_{k+2}$)en términos de la constante de menor orden (en nuestro caso $c_{k}$), por lo tanto despejamos y tenemos:
\[c_{k+2}(k+2)(k+1)+8c_{k}k-4c_{k}=0\]
\[c_{k+2}(k+2)(k+1)=-8c_{k}k-4c_{k}\]
\[c_{k+2}(k+2)(k+1)=-4c_{k}(2k-1)\]
\[c_{k+2}(k+2)(k+1)=4c_{k}(1-2k)\]
\[c_{k+2}=\frac{4c_{k}(1-2k)}{(k+2)(k+1)}\]
Luego $k$ toma valores desde $0, 1, 2, 3, 4, ..., $ y procedemos a reemplazar por dichos valores.
Para $k=0$:
\[c_{0+2}=\frac{4c_{0}(1-2(0))}{(0+2)(0+1)}\]
\[c_{2}=\frac{4c_{0}(1)}{(2)(1)}\]
\[c_{2}=\frac{4c_{0}}{2}=2c_{0}\]
Para $k=1$:
\[c_{1+2}=\frac{4c_{1}(1-2(1))}{(1+2)(1+1)}\]
\[c_{3}=\frac{4c_{1}(1-2)}{(3)(2)}\]
\[c_{3}=\frac{4c_{1}(-1)}{6}\]
\[c_{3}=-\frac{4c_{1}}{6}=-\frac{2}{3}c_{1}\]
Para $k=2$:
\[c_{2+2}=\frac{4c_{2}(1-2(2))}{(2+2)(2+1)}\]
\[c_{4}=\frac{4c_{2}(1-4)}{(4)(3)}\]
\[c_{4}=\frac{4c_{2}(-3)}{12}\]
\[c_{4}=-\frac{12c_{2}}{12}=-c_{2}=-1(2c_{0})\]
Para $k=3$:
\[c_{3+2}=\frac{4c_{3}(1-2(3))}{(3+2)(3+1)}\]
\[c_{5}=\frac{4c_{3}(1-6)}{(5)(4)}\]
\[c_{5}=\frac{4c_{3}(-5)}{20}\]
\[c_{5}=-\frac{20c_{3}}{20}=-c_{3}=-(-\frac{2}{3}c_{1})=\frac{2}{3}c_{1}\]
para $k=4$:
\[c_{4+2}=\frac{4c_{4}(1-2(4))}{(4+2)(4+1)}\]
\[c_{6}=\frac{4c_{4}(1-8)}{(6)(5)}\]
\[c_{6}=\frac{4c_{4}(-7)}{30}\]
\[c_{6}=-\frac{28c_{4}}{20}=-\frac{14}{15}c_{4}=-\frac{14}{15}(-2c_{0})=\frac{28}{15}c_{0}\]
Para $k=5$:
\[c_{5+2}=\frac{4c_{5}(1-2(5))}{(5+2)(5+1)}\]
\[c_{7}=\frac{4c_{5}(1-10)}{(7)(6)}\]
\[c_{7}=\frac{4c_{5}(-9)}{42}\]
\[c_{7}=-\frac{36c_{5}}{42}=-\frac{6}{7}c_{5}=-\frac{6}{7}(\frac{2}{3}c_{1})=-\frac{4}{7}c_{1}\]
Luego la solución será de la forma:
\[y=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+c_{5}x^{5}+c_{6}x^{6}+c_{7}x^{7}+...\]
Reemplazamos las constantes obtenidas anteriormente y llegaremos a nuestro resultado:
\[y=c_{0}+c_{1}x+2c_{0}x^{2}-\frac{2}{3}c_{1}x^{3}-2c_{0}x^{4}+\frac{2}{3}c_{1}x^{5}+\frac{28}{15}c_{0}x^{6}-\frac{4}{7}c_{1}x^{7}+...\]
Factorizamos las constantes $c_{0}$ y $c_{1}$ que corresponderan a las dos soluciones de nuestra ecuación diferencial:
\[y=c_{0}\left(1+2x^{2}-2x^{4}+\frac{28}{15}x^{6}+...\right)+c_{1}\left(x-\frac{2}{3}x^{3}+\frac{2}{3}x^{5}-\frac{4}{7}x^{7}+...\right)\]