¿Como resolver una ecuación diferencial por el método de series de potencias? 2

La ecuación diferencial a resolver es:

\[y'+y=0\]

Proponemos una solución como en el punto anterior con sus correspondientes derivadas hasta primer orden:

\[y=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}\]

\[y'=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}nx^{n-1}\]

Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial y tenemos:

\[\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}nx^{n-1}+\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=0\]

Realizamos un cambio de indices para la primera sumatoria con $k=n-1$, y por lo tanto $n=k+1$ y para la segunda sumatoria con $k=n$, reemplazamos en nuestra ecuación diferencial y nos quedara:

\[\sum_{k=0}^{\infty}c_{k+1}(k+1)x^{k}+\sum_{k=0}^{\infty}c_{k}x^{k}=0\]

Que podemos escribir de la forma:

\[\sum_{k=0}^{\infty}[c_{k+1}(k+1)+c_{k}]x^{k}=0\]

Luego:

\[\sum_{k=0}^{\infty}\underbrace{[c_{k+1}(k+1)+c_{k}]}_{=0}\underbrace{x^{k}}_{\neq0}=0\]

Obtenemos una ecuación característica de la cual vamos a sacar los valores de la ecuación diferencial:

\[c_{k+1}(k+1)+c_{k}=0\]

\[c_{k+1}(k+1)=-c_{k}\]

\[c_{k+1}=-\frac{c_{k}}{(k+1)} \]

Para $k=0$:

\[c_{0+1}=-\frac{c_{0}}{(0+1)}\]

\[c_{1}=-\frac{c_{0}}{(1)}=-c_{0} \]

Para $k=1$:

\[c_{1+1}=-\frac{c_{1}}{(1+1)}\]

\[c_{2}=-\frac{c_{1}}{(2)}=-\frac{(-c_{0})}{2}=\frac{c_{0}}{2}\]

Para $k=2$:

\[c_{2+1}=-\frac{c_{2}}{(2+1)}\]

\[c_{3}=-\frac{c_{2}}{(3)}=-\frac{c_{0}}{3 \cdot 2}\]

Para $k=3$:

\[c_{3+1}=-\frac{c_{3}}{(3+1)}\]

\[c_{4}=-\frac{c_{3}}{(4)}=-\frac{-c_{0}}{4 \cdot 3 \cdot 2}=\frac{c_{0}}{4 \cdot 3 \cdot 2}\]

Para $k=4$:

\[c_{4+1}=-\frac{c_{4}}{(4+1)}\]

\[c_{5}=-\frac{c_{4}}{(5)}=-\frac{c_{0}}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}\]

Luego la solución en series de potencias queda de la forma:

\[y=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+c_{5}x^{5}+...\]

Reemplazamos las constantes y tenemos:

\[y=c_{0}-c_{0}x+c_{0}\frac{x^{2}}{2}-c_{0}\frac{x^{3}}{3 \cdot 2}+c_{0}\frac{x^{4}}{4 \cdot 3 \cdot 2}-c_{0}\frac{x^{5}}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}+...\]

Factorizando $c_{0}$ y después es fácil obtener el término n-esimo:

\[y=c_{0}\left(1-x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3 \cdot 2}+\frac{x^{4}}{4 \cdot 3 \cdot 2}-\frac{x^{5}}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}+...(-1)^{n}\frac{x^{n}}{n!}\right)\]

Y si nos damos cuenta el desarrollo en series de potencias de la función $e^{x}$ es de la forma:

\[e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3 \cdot 2}+\frac{x^{4}}{4 \cdot 3 \cdot 2}+\frac{x^{5}}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}+...\frac{x^{n}}{n!}\]

Luego si hacemos el desarrollo en serie de potencias de la función $e^{-x}$ tendremos que cambiar el signo en las potencias impares:

\[e^{-x}=1-x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3 \cdot 2}+\frac{x^{4}}{4 \cdot 3 \cdot 2}-\frac{x^{5}}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}+...(-1)^{n}\frac{x^{n}}{n!}\]

Que corresponde al término entre paréntesis que acompaña a la constante $c_{0}$, por lo tanto la solución de la ecuación diferencial es:

\[y=c_{0}e^{-x}\]