La ecuación diferencial a resolver es:
y′+y=0
Proponemos una solución como en el punto anterior con sus correspondientes derivadas hasta primer orden:
y=∞∑n=0cnxn
y′=∞∑n=1cnnxn−1
Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial y tenemos:
∞∑n=1cnnxn−1+∞∑n=0cnxn=0
Realizamos un cambio de indices para la primera sumatoria con k=n−1, y por lo tanto n=k+1 y para la segunda sumatoria con k=n, reemplazamos en nuestra ecuación diferencial y nos quedara:
∞∑k=0ck+1(k+1)xk+∞∑k=0ckxk=0
Que podemos escribir de la forma:
∞∑k=0[ck+1(k+1)+ck]xk=0
Luego:
∞∑k=0[ck+1(k+1)+ck]⏟=0xk⏟≠0=0
Obtenemos una ecuación característica de la cual vamos a sacar los valores de la ecuación diferencial:
ck+1(k+1)+ck=0
ck+1(k+1)=−ck
ck+1=−ck(k+1)
Para k=0:
c0+1=−c0(0+1)
c1=−c0(1)=−c0
Para k=1:
c1+1=−c1(1+1)
c2=−c1(2)=−(−c0)2=c02
Para k=2:
c2+1=−c2(2+1)
c3=−c2(3)=−c03⋅2
Para k=3:
c3+1=−c3(3+1)
c4=−c3(4)=−−c04⋅3⋅2=c04⋅3⋅2
Para k=4:
c4+1=−c4(4+1)
c5=−c4(5)=−c05⋅4⋅3⋅2
Luego la solución en series de potencias queda de la forma:
y=c0+c1x+c2x2+c3x3+c4x4+c5x5+...
Reemplazamos las constantes y tenemos:
y=c0−c0x+c0x22−c0x33⋅2+c0x44⋅3⋅2−c0x55⋅4⋅3⋅2+...
Factorizando c0 y después es fácil obtener el término n-esimo:
y=c0(1−x+x22−x33⋅2+x44⋅3⋅2−x55⋅4⋅3⋅2+...(−1)nxnn!)
Y si nos damos cuenta el desarrollo en series de potencias de la función ex es de la forma:
ex=1+x+x22+x33⋅2+x44⋅3⋅2+x55⋅4⋅3⋅2+...xnn!
Luego si hacemos el desarrollo en serie de potencias de la función e−x tendremos que cambiar el signo en las potencias impares:
e−x=1−x+x22−x33⋅2+x44⋅3⋅2−x55⋅4⋅3⋅2+...(−1)nxnn!
Que corresponde al término entre paréntesis que acompaña a la constante c0, por lo tanto la solución de la ecuación diferencial es:
y=c0e−x
Comentarios
Publicar un comentario