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¿Como resolver una ecuación diferencial por el método de series de potencias? 2

La ecuación diferencial a resolver es:
y+y=0
Proponemos una solución como en el punto anterior con sus correspondientes derivadas hasta primer orden:
y=n=0cnxn
y=n=1cnnxn1
Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial y tenemos:
n=1cnnxn1+n=0cnxn=0
Realizamos un cambio de indices para la primera sumatoria con k=n1, y por lo tanto n=k+1 y para la segunda sumatoria con k=n, reemplazamos en nuestra ecuación diferencial y nos quedara:
k=0ck+1(k+1)xk+k=0ckxk=0
Que podemos escribir de la forma:
k=0[ck+1(k+1)+ck]xk=0
Luego:
k=0[ck+1(k+1)+ck]=0xk0=0
Obtenemos una ecuación característica de la cual vamos a sacar los valores de la ecuación diferencial:
ck+1(k+1)+ck=0
ck+1(k+1)=ck
ck+1=ck(k+1)
Para k=0:
c0+1=c0(0+1)
c1=c0(1)=c0
Para k=1:
c1+1=c1(1+1)
c2=c1(2)=(c0)2=c02
Para k=2:
c2+1=c2(2+1)
c3=c2(3)=c032
Para k=3:
c3+1=c3(3+1)
c4=c3(4)=c0432=c0432
Para k=4:
c4+1=c4(4+1)
c5=c4(5)=c05432
Luego la solución en series de potencias queda de la forma:
y=c0+c1x+c2x2+c3x3+c4x4+c5x5+...
Reemplazamos las constantes y tenemos:
y=c0c0x+c0x22c0x332+c0x4432c0x55432+...
Factorizando c0 y después es fácil obtener el término n-esimo:
y=c0(1x+x22x332+x4432x55432+...(1)nxnn!)
Y si nos damos cuenta el desarrollo en series de potencias de la función ex es de la forma:
ex=1+x+x22+x332+x4432+x55432+...xnn!
Luego si hacemos el desarrollo en serie de potencias de la función ex tendremos que cambiar el signo en las potencias impares:
ex=1x+x22x332+x4432x55432+...(1)nxnn!
Que corresponde al término entre paréntesis que acompaña a la constante c0, por lo tanto la solución de la ecuación diferencial es:
y=c0ex

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