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¿Cuál es la integral de arcotangente?

Nuestro problema ahora es hallar la integral a la función arcotangente:
\[\int arctan(w)dw\]
Debemos aplicar integración por partes:
Uniforme de Vaca es para Una Vaca Vestida de Uniforme:
\[\int UdV=UV-\int VdU\]
Acá $U=arctan(w)$, su derivada es: $dU=\frac{1}{1+w^{2}}$, y $dV=dw$, su integral es: $V=w$, aplicamos de acuerdo a la integración por partes:
\[\int arctan(w)dw=w \cdot arctan(w)-\int \frac{w}{1+w^{2}}dw\]
Para la última integral utilizamos una sustitución, sí $p=1+w^{2}$, $dp=2wdw$, entonces $\frac{dp}{2}=wdw$, y la respectiva integral queda como:
\[\frac{1}{2}\int \frac{dp}{p}=\frac{1}{2}ln(p)+C\]
Deshacemos la sustitución:
\[\frac{1}{2}ln(1+w^{2})+C\]
Reemplazamos este resultado para obtener el resultado de la integral arcotangente:
\[\int arctan(w)dw=w \cdot arctan(w)-\frac{1}{2}ln(1+w^{2})+C\]
Finalmente obteniendo el resultado deseado.
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