Ir al contenido principal

¿Cuál es la integral de logaritmo natural?

La integral que queremos hallar es la siguiente:
\[\int ln(y)dy\]
Debemos aplicar integración por partes:
Uniforme de Vaca es para Una Vaca Vestida de Uniforme:
\[\int UdV=UV-\int VdU\]
Acá $U=ln(y)$, $dU=\frac{1}{y}dy$, y $dV=dy$, $V=y$, aplicamos el procedimiento respectivo de integración por partes obteniendo:
\[\int ln(y)dy=yln(y)-\int \frac{1}{y}ydy=yln(y)-\int dy\]
Obtenemos el resultado:
\[\int ln(y)dy=yln(y)-y+C\]
Sacando factor común llegamos finalmente a la integral de logaritmo natural:
\[\int ln(y)dy=y(ln(y)-1)+C\]

Etiquetas:

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

¿Cómo resolver la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple con gravedad?

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje y, y además está en presencia de la gravedad, su ecuación diferencial es la siguiente: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=g\] Esta es una ecuación diferencial no homogénea y la vamos a resolver por el método de variación de parámetros. Para este método necesitamos resolver la ecuación diferencial homogenea: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=0\] Que ya la hemos resuelto en este enlace  aunque resuelta con la coordenada $x$, pero eso no va a importar, porque va a ser la misma solución, solo que cambiamos de $x$ a $y$: \[y(t)=c_{1}cos(\omega t)+c_{2}sen(\omega t)\] Para resolver la ecuación diferencial debemos hallar el wronskiano: \[W(f(t),g(t))=\begin{vmatrix}f(t) & g(t)\\f'(t) & g'(t)\end{vmatrix}\] Identificamos las funciones $f(t)=c_{1}cos(\omega t)$ y $g(t)=c_{2}sen(\omega t)$, hallamos las derivadas $f'(t)=-c_{1}\omega sen(\omega t)$ y $g'(t)=c_{...
Publicar un comentario
Leer más

¿Cuál es la integral de sen(2x)?

Nuestra integral a resolver está vez es la siguiente: \[\int sen(2x)dx\] Podemos realizar la siguiente sustitución $u=2x$, $du=2dx$, entonces $\frac{du}{2}=dx$, así la integral nos queda de la forma: \[\frac{1}{2}\int sen(u)du\] Que corresponde a una integral fundamental: \[\frac{1}{2}\int sen(u)du=-\frac{1}{2}cos(u)+C\] Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la respuesta a nuestra integral: \[-\frac{1}{2}cos(2x)+C\]
Publicar un comentario
Leer más

Demostración ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con Wronskiano

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 47 de ecuaciones diferenciales de segundo orden homogeneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. El problema es el siguiente: Sean $y_{1}$ y $y_{2}$ dos soluciones de: \[a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}y=0\] (a) Sí $W(y_{1},y_{2})$ es el wronskiano de $y_{1}$ y $y_{2}$, demuestre que \[a_{2}(x)\frac{dW}{dx}+a_{1}(x)W=0\] Como $y_{1}$ y $y_{2}$ son soluciones de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden, luego también deben ser soluciones de las ecuaciones diferenciales: \[a_{2}(x)y_{1}''+a_{1}(x)y_{1}'+a_{0}y_{1}=0\] \[a_{2}(x)y_{2}''+a_{1}(x)y_{2}'+a_{0}y_{2}=0\] El wronskiano es de la forma: \[W(y_{1},y_{2})=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2}\\y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}\] \[W(y_{1},y_{2})=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'\] La derivada del Wronskiano es: \[\frac{dW}{dx}=(y_{1}y_{2}')'-(y_{2}y_{1}')'\...
Publicar un comentario
Leer más