Tenemos la ecuación diferencial no homogénea:
y″+9y=sec(x)
Primero hallamos la solución complementaria yc, que se obtiene de resolver la ecuación diferencial homogénea:
y″+9y=0
Proponemos una solución de la forma y=emx y sus derivadas y′=memx, y″=m2emx, reemplazamos en nuestra ecuación diferencial:
m2emx+9emx=0
Factorizamos emx y como este ultimo no puede ser cero, la ecuación cuadrática a resolver para determinar m es de la forma:
emx(m2+9)=0
m2+9=0
Las soluciones a esa ecuación cuadrática son de la forma:
m1=i3m2=−i3
La solución particular es de la forma:
yc=C1ei3x+C2e−i3x
Aplicamos la identidad de Euler y obtenemos:
yc=c1cos(3x)+c2sen(3x)
Para hallar la solución particular yp utilizamos el método de variación de parámetros, que emplea el Wronskiano:
W(f(x),g(x))=|f(x)g(x)f′(x)g′(x)|
Identificamos las funciones f(x)=cos(3x) y g(x)=sen(3x), hallamos las derivadas f′(x)=−3sen(3x) y g′(x)=3cos(3x), reemplazamos en nuestro Wronskiano:
W(cos(3x),sen(3x))=|cos(3x)sen(3x)−3sen(3x)3cos(3x)|
Si el determinante es diferente de cero, luego las soluciones son linealmente independientes:
W(cos(3x),sen(3x))=|cos(3x)sen(3x)−3sen(3x)3cos(3x)|
=(cos(3x))(3cos(3x))−(sen(3x))(−3sen(3x))
=3cos2(x)+3sen2(x)=3(cos2(3x)+sen2(3x))
=3
Luego el determinante nos da diferente de cero.
La variación de parámetros nos dice que para hallar la solución yp debemos integrar los términos:
u′1=−y2h(x)Wu′2=−y1h(x)W
Donde y1=cos(3x) y y2=sen(3x) y h(x)=sec(x) (El término que hace no homogénea a nuestra ecuación diferencial y″+9y=sec(x) y W es el resultado del determinante (Wronskiano)
Calculamos u′1 y u′2 :
u′1=−sen(3x)sec(x)3u′2=cos(3x)sec(x)3
Integramos cada una de las un anteriores respecto a x, para eso vamos a tener la forma:
u′1=−sen(3x)3cos(x)u′2=cos(3x)3cos(x)
Integramos:
u1=∫−sen(3x)3cos(x)dxu2=∫cos(3x)3cos(x)dx
Y obtenemos las soluciones de las integrales:
u1=−13ln(|cos(x)|)−23cos2(x)
u2=−13sen(2x)−13x
La solución particular es de la forma:
yp=u1y1+u2y2
yp=(−13ln(|cos(x)|)−23cos2(x))cos(3x)+(−13sen(2x)−13x)sen(3x)
yp=−(13ln(|cos(x)|)cos(3x)+23cos2(x)cos(3x)+13sen(2x)sen(3x)+13xsen(3x))
Y la solución de la ecuación diferencial no homogénea es:
y=yc+yp
y=c1cos(3x)+c2sen(3x)−(13ln(|cos(x)|)cos(3x)+23cos2(x)cos(3x)+13sen(2x)sen(3x)+13xsen(3x))
y″+9y=sec(x)
Primero hallamos la solución complementaria yc, que se obtiene de resolver la ecuación diferencial homogénea:
y″+9y=0
Proponemos una solución de la forma y=emx y sus derivadas y′=memx, y″=m2emx, reemplazamos en nuestra ecuación diferencial:
m2emx+9emx=0
Factorizamos emx y como este ultimo no puede ser cero, la ecuación cuadrática a resolver para determinar m es de la forma:
emx(m2+9)=0
m2+9=0
Las soluciones a esa ecuación cuadrática son de la forma:
m1=i3m2=−i3
La solución particular es de la forma:
yc=C1ei3x+C2e−i3x
Aplicamos la identidad de Euler y obtenemos:
yc=c1cos(3x)+c2sen(3x)
Para hallar la solución particular yp utilizamos el método de variación de parámetros, que emplea el Wronskiano:
W(f(x),g(x))=|f(x)g(x)f′(x)g′(x)|
Identificamos las funciones f(x)=cos(3x) y g(x)=sen(3x), hallamos las derivadas f′(x)=−3sen(3x) y g′(x)=3cos(3x), reemplazamos en nuestro Wronskiano:
W(cos(3x),sen(3x))=|cos(3x)sen(3x)−3sen(3x)3cos(3x)|
Si el determinante es diferente de cero, luego las soluciones son linealmente independientes:
W(cos(3x),sen(3x))=|cos(3x)sen(3x)−3sen(3x)3cos(3x)|
=(cos(3x))(3cos(3x))−(sen(3x))(−3sen(3x))
=3cos2(x)+3sen2(x)=3(cos2(3x)+sen2(3x))
=3
Luego el determinante nos da diferente de cero.
La variación de parámetros nos dice que para hallar la solución yp debemos integrar los términos:
u′1=−y2h(x)Wu′2=−y1h(x)W
Donde y1=cos(3x) y y2=sen(3x) y h(x)=sec(x) (El término que hace no homogénea a nuestra ecuación diferencial y″+9y=sec(x) y W es el resultado del determinante (Wronskiano)
Calculamos u′1 y u′2 :
u′1=−sen(3x)sec(x)3u′2=cos(3x)sec(x)3
Integramos cada una de las un anteriores respecto a x, para eso vamos a tener la forma:
u′1=−sen(3x)3cos(x)u′2=cos(3x)3cos(x)
Integramos:
u1=∫−sen(3x)3cos(x)dxu2=∫cos(3x)3cos(x)dx
Y obtenemos las soluciones de las integrales:
u1=−13ln(|cos(x)|)−23cos2(x)
u2=−13sen(2x)−13x
La solución particular es de la forma:
yp=u1y1+u2y2
yp=(−13ln(|cos(x)|)−23cos2(x))cos(3x)+(−13sen(2x)−13x)sen(3x)
yp=−(13ln(|cos(x)|)cos(3x)+23cos2(x)cos(3x)+13sen(2x)sen(3x)+13xsen(3x))
Y la solución de la ecuación diferencial no homogénea es:
y=yc+yp
y=c1cos(3x)+c2sen(3x)−(13ln(|cos(x)|)cos(3x)+23cos2(x)cos(3x)+13sen(2x)sen(3x)+13xsen(3x))
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