La ecuación que vamos a resolver es:
\[y''-5y'+4y=1\]
Proponemos una solución $y=e^{mx}$ y sus correspondientes derivadas $y'=me^{mx}$ y $y''=m^{2}e^{mx}$ y reemplazamos en nuestra ecuación homogenea que es de la forma:
\[y''-5y'+4y=0\]
\[m^{2}e^{mx}-5me^{mx}+4e^{mx}=0\]
Factorizamos $e^{mx}$ y tenemos:
\[\overbrace{ e^{mx}}^{\neq 0}\overbrace{[m^{2}-5m+4]}^{=0}=0\]
Por lo tanto tenemos que resolver la cuadrática:
\[m^{2}-5m+4=0\]
La cual admite factorización de la forma:
\[(m-1)(m-4)=0\]
Luego las raíces correspondientes serán $m_{1}=1$, $m_{2}=4$ y la solución complementaria será:
\[y_{c}=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{4x}\]
Ahora es posible hallar la solución particular $y_{p}$ a partir de nuestra solución conocida que es nuestra solución complementaria, tendremos:
\[W=\begin{vmatrix}u_{1} & u_{2}\\u'_{1}& u'_{2}\end{vmatrix}\]
Nos damos cuenta que la solución es de la forma $y=c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}$ luego reemplazamos dichas funciones en la matriz con sus respectivas derivadas y calculamos el determinante que corresponderá al wronskiano:
\[W=\begin{vmatrix}e^{x} & e^{4x}\\e^{x}& 4e^{4x}\end{vmatrix}=e^{x}4e^{4x}-e^{4x}e^{x}=4e^{5x}-e^{5x}=3e^{5x}\]
Luego para utilizar el metodo de variación de parametros debemos identificar mi función $f(x)$ de la ecuación diferencial:
\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)\]
Que si comparamos con nuestra ecuación diferencial inicial, $f(x)=1$, ahora procedemos a hallar $u'_{1}$ y $u'_{2}$ de acuerdo a:
\[u'_{1}=-\frac{y_{2}f(x)}{W} \quad u'_{2}=\frac{y_{1}f(x)}{W}\]
Reemplazando y calculando tendremos:
\[u'_{1}=-\frac{e^{4x}(1)}{3e^{5x}}=-\frac{1}{3}e^{-x} \quad u'_{2}=\frac{e^{x}(1)}{3e^{5x}}=\frac{1}{3}e^{-4x}\]
Luego integramos nuestro resultados y tendremos $u_{1}$ y $u_{2}$:
\[\int-\frac{1}{3}e^{-x}dx=\frac{1}{3}e^{-x} \quad \int \frac{1}{3}e^{-4x}dx=-\frac{1}{12}e^{-4x}\]
y la solución particular será de la forma:
\[y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}\]
\[y_{p}=\frac{1}{3}-\frac{1}{12}=\frac{1}{4}\]
\[y_{p}=\frac{1}{4}\]
Ahora sumamos la solución complementaria y la solución particular para obtener la solución general de la ecuación y finalmente tendremos:
\[y=y_{c}+y_{p}\]
\[y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{4x}+\frac{1}{4}\]
\[y''-5y'+4y=1\]
Proponemos una solución $y=e^{mx}$ y sus correspondientes derivadas $y'=me^{mx}$ y $y''=m^{2}e^{mx}$ y reemplazamos en nuestra ecuación homogenea que es de la forma:
\[y''-5y'+4y=0\]
\[m^{2}e^{mx}-5me^{mx}+4e^{mx}=0\]
Factorizamos $e^{mx}$ y tenemos:
\[\overbrace{ e^{mx}}^{\neq 0}\overbrace{[m^{2}-5m+4]}^{=0}=0\]
Por lo tanto tenemos que resolver la cuadrática:
\[m^{2}-5m+4=0\]
La cual admite factorización de la forma:
\[(m-1)(m-4)=0\]
Luego las raíces correspondientes serán $m_{1}=1$, $m_{2}=4$ y la solución complementaria será:
\[y_{c}=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{4x}\]
Ahora es posible hallar la solución particular $y_{p}$ a partir de nuestra solución conocida que es nuestra solución complementaria, tendremos:
\[W=\begin{vmatrix}u_{1} & u_{2}\\u'_{1}& u'_{2}\end{vmatrix}\]
Nos damos cuenta que la solución es de la forma $y=c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}$ luego reemplazamos dichas funciones en la matriz con sus respectivas derivadas y calculamos el determinante que corresponderá al wronskiano:
\[W=\begin{vmatrix}e^{x} & e^{4x}\\e^{x}& 4e^{4x}\end{vmatrix}=e^{x}4e^{4x}-e^{4x}e^{x}=4e^{5x}-e^{5x}=3e^{5x}\]
Luego para utilizar el metodo de variación de parametros debemos identificar mi función $f(x)$ de la ecuación diferencial:
\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)\]
Que si comparamos con nuestra ecuación diferencial inicial, $f(x)=1$, ahora procedemos a hallar $u'_{1}$ y $u'_{2}$ de acuerdo a:
\[u'_{1}=-\frac{y_{2}f(x)}{W} \quad u'_{2}=\frac{y_{1}f(x)}{W}\]
Reemplazando y calculando tendremos:
\[u'_{1}=-\frac{e^{4x}(1)}{3e^{5x}}=-\frac{1}{3}e^{-x} \quad u'_{2}=\frac{e^{x}(1)}{3e^{5x}}=\frac{1}{3}e^{-4x}\]
Luego integramos nuestro resultados y tendremos $u_{1}$ y $u_{2}$:
\[\int-\frac{1}{3}e^{-x}dx=\frac{1}{3}e^{-x} \quad \int \frac{1}{3}e^{-4x}dx=-\frac{1}{12}e^{-4x}\]
y la solución particular será de la forma:
\[y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}\]
\[y_{p}=\frac{1}{3}-\frac{1}{12}=\frac{1}{4}\]
\[y_{p}=\frac{1}{4}\]
Ahora sumamos la solución complementaria y la solución particular para obtener la solución general de la ecuación y finalmente tendremos:
\[y=y_{c}+y_{p}\]
\[y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{4x}+\frac{1}{4}\]
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