La ecuación que vamos a resolver es:
y″−5y′+4y=1
Proponemos una solución y=emx y sus correspondientes derivadas y′=memx y y″=m2emx y reemplazamos en nuestra ecuación homogenea que es de la forma:
y″−5y′+4y=0
m2emx−5memx+4emx=0
Factorizamos emx y tenemos:
≠0⏞emx=0⏞[m2−5m+4]=0
Por lo tanto tenemos que resolver la cuadrática:
m2−5m+4=0
La cual admite factorización de la forma:
(m−1)(m−4)=0
Luego las raíces correspondientes serán m1=1, m2=4 y la solución complementaria será:
yc=c1ex+c2e4x
Ahora es posible hallar la solución particular yp a partir de nuestra solución conocida que es nuestra solución complementaria, tendremos:
W=|u1u2u′1u′2|
Nos damos cuenta que la solución es de la forma y=c1u1+c2u2 luego reemplazamos dichas funciones en la matriz con sus respectivas derivadas y calculamos el determinante que corresponderá al wronskiano:
W=|exe4xex4e4x|=ex4e4x−e4xex=4e5x−e5x=3e5x
Luego para utilizar el metodo de variación de parametros debemos identificar mi función f(x) de la ecuación diferencial:
y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)
Que si comparamos con nuestra ecuación diferencial inicial, f(x)=1, ahora procedemos a hallar u′1 y u′2 de acuerdo a:
u′1=−y2f(x)Wu′2=y1f(x)W
Reemplazando y calculando tendremos:
u′1=−e4x(1)3e5x=−13e−xu′2=ex(1)3e5x=13e−4x
Luego integramos nuestro resultados y tendremos u1 y u2:
∫−13e−xdx=13e−x∫13e−4xdx=−112e−4x
y la solución particular será de la forma:
yp=u1y1+u2y2
yp=13−112=14
yp=14
Ahora sumamos la solución complementaria y la solución particular para obtener la solución general de la ecuación y finalmente tendremos:
y=yc+yp
y=c1ex+c2e4x+14
y″−5y′+4y=1
Proponemos una solución y=emx y sus correspondientes derivadas y′=memx y y″=m2emx y reemplazamos en nuestra ecuación homogenea que es de la forma:
y″−5y′+4y=0
m2emx−5memx+4emx=0
Factorizamos emx y tenemos:
≠0⏞emx=0⏞[m2−5m+4]=0
Por lo tanto tenemos que resolver la cuadrática:
m2−5m+4=0
La cual admite factorización de la forma:
(m−1)(m−4)=0
Luego las raíces correspondientes serán m1=1, m2=4 y la solución complementaria será:
yc=c1ex+c2e4x
Ahora es posible hallar la solución particular yp a partir de nuestra solución conocida que es nuestra solución complementaria, tendremos:
W=|u1u2u′1u′2|
Nos damos cuenta que la solución es de la forma y=c1u1+c2u2 luego reemplazamos dichas funciones en la matriz con sus respectivas derivadas y calculamos el determinante que corresponderá al wronskiano:
W=|exe4xex4e4x|=ex4e4x−e4xex=4e5x−e5x=3e5x
Luego para utilizar el metodo de variación de parametros debemos identificar mi función f(x) de la ecuación diferencial:
y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)
Que si comparamos con nuestra ecuación diferencial inicial, f(x)=1, ahora procedemos a hallar u′1 y u′2 de acuerdo a:
u′1=−y2f(x)Wu′2=y1f(x)W
Reemplazando y calculando tendremos:
u′1=−e4x(1)3e5x=−13e−xu′2=ex(1)3e5x=13e−4x
Luego integramos nuestro resultados y tendremos u1 y u2:
∫−13e−xdx=13e−x∫13e−4xdx=−112e−4x
y la solución particular será de la forma:
yp=u1y1+u2y2
yp=13−112=14
yp=14
Ahora sumamos la solución complementaria y la solución particular para obtener la solución general de la ecuación y finalmente tendremos:
y=yc+yp
y=c1ex+c2e4x+14
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