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¿Cómo resolver una ecuación diferencial no homogénea por el método de variación de parámetros? 2

La ecuación que vamos a resolver es:
y5y+4y=1

Proponemos una solución y=emx y sus correspondientes derivadas y=memx y y=m2emx y reemplazamos en nuestra ecuación homogenea que es de la forma:
y5y+4y=0

m2emx5memx+4emx=0

Factorizamos emx y tenemos:
0emx=0[m25m+4]=0

Por lo tanto tenemos que resolver la cuadrática:
m25m+4=0

La cual admite factorización de la forma:
(m1)(m4)=0

Luego las raíces correspondientes serán  m1=1, m2=4 y la solución complementaria será:
yc=c1ex+c2e4x

Ahora es posible hallar la solución particular yp a partir de nuestra solución conocida que es nuestra solución complementaria, tendremos:
W=|u1u2u1u2|

Nos damos cuenta que la solución es de la forma y=c1u1+c2u2 luego reemplazamos dichas funciones en la matriz con sus respectivas derivadas y calculamos el determinante que corresponderá al wronskiano:
W=|exe4xex4e4x|=ex4e4xe4xex=4e5xe5x=3e5x

Luego para utilizar el metodo de variación de parametros debemos identificar mi función f(x) de la ecuación diferencial:
y+p(x)y+q(x)y=f(x)

Que si comparamos con nuestra ecuación diferencial inicial, f(x)=1, ahora procedemos a hallar u1 y u2 de acuerdo a:
u1=y2f(x)Wu2=y1f(x)W

Reemplazando y calculando tendremos:
u1=e4x(1)3e5x=13exu2=ex(1)3e5x=13e4x

Luego integramos nuestro resultados y tendremos u1 y u2:
13exdx=13ex13e4xdx=112e4x

y la solución particular será de la forma:
yp=u1y1+u2y2

yp=13112=14

yp=14

Ahora sumamos la solución complementaria y la solución particular para obtener la solución general de la ecuación y finalmente tendremos:
y=yc+yp

y=c1ex+c2e4x+14


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