Processing math: 0%
Ir al contenido principal

¿Cómo resolver una ecuación diferencial no homogénea por el método de variación de parámetros? 2

La ecuación que vamos a resolver es:
y
Proponemos una solución y=e^{mx} y sus correspondientes derivadas y'=me^{mx} y y''=m^{2}e^{mx} y reemplazamos en nuestra ecuación homogenea que es de la forma:
y''-5y'+4y=0
m^{2}e^{mx}-5me^{mx}+4e^{mx}=0
Factorizamos e^{mx} y tenemos:
\overbrace{ e^{mx}}^{\neq 0}\overbrace{[m^{2}-5m+4]}^{=0}=0
Por lo tanto tenemos que resolver la cuadrática:
m^{2}-5m+4=0
La cual admite factorización de la forma:
(m-1)(m-4)=0
Luego las raíces correspondientes serán  m_{1}=1, m_{2}=4 y la solución complementaria será:
y_{c}=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{4x}
Ahora es posible hallar la solución particular y_{p} a partir de nuestra solución conocida que es nuestra solución complementaria, tendremos:
W=\begin{vmatrix}u_{1} & u_{2}\\u'_{1}& u'_{2}\end{vmatrix}
Nos damos cuenta que la solución es de la forma y=c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2} luego reemplazamos dichas funciones en la matriz con sus respectivas derivadas y calculamos el determinante que corresponderá al wronskiano:
W=\begin{vmatrix}e^{x} & e^{4x}\\e^{x}& 4e^{4x}\end{vmatrix}=e^{x}4e^{4x}-e^{4x}e^{x}=4e^{5x}-e^{5x}=3e^{5x}
Luego para utilizar el metodo de variación de parametros debemos identificar mi función f(x) de la ecuación diferencial:
y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
Que si comparamos con nuestra ecuación diferencial inicial, f(x)=1, ahora procedemos a hallar u'_{1} y u'_{2} de acuerdo a:
u'_{1}=-\frac{y_{2}f(x)}{W} \quad u'_{2}=\frac{y_{1}f(x)}{W}
Reemplazando y calculando tendremos:
u'_{1}=-\frac{e^{4x}(1)}{3e^{5x}}=-\frac{1}{3}e^{-x} \quad u'_{2}=\frac{e^{x}(1)}{3e^{5x}}=\frac{1}{3}e^{-4x}
Luego integramos nuestro resultados y tendremos u_{1} y u_{2}:
\int-\frac{1}{3}e^{-x}dx=\frac{1}{3}e^{-x} \quad \int \frac{1}{3}e^{-4x}dx=-\frac{1}{12}e^{-4x}
y la solución particular será de la forma:
y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}
y_{p}=\frac{1}{3}-\frac{1}{12}=\frac{1}{4}
y_{p}=\frac{1}{4}
Ahora sumamos la solución complementaria y la solución particular para obtener la solución general de la ecuación y finalmente tendremos:
y=y_{c}+y_{p}
y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{4x}+\frac{1}{4}

Comentarios

Entradas populares de este blog

¿Cuál es la integral de sen(2x)?

Nuestra integral a resolver está vez es la siguiente: \int sen(2x)dx Podemos realizar la siguiente sustitución u=2x, du=2dx, entonces \frac{du}{2}=dx, así la integral nos queda de la forma: \frac{1}{2}\int sen(u)du Que corresponde a una integral fundamental: \frac{1}{2}\int sen(u)du=-\frac{1}{2}cos(u)+C Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la respuesta a nuestra integral: -\frac{1}{2}cos(2x)+C

¿Cómo resolver la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple con gravedad?

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje y, y además está en presencia de la gravedad, su ecuación diferencial es la siguiente: \ddot{y}+\omega^{2}y=g Esta es una ecuación diferencial no homogénea y la vamos a resolver por el método de variación de parámetros. Para este método necesitamos resolver la ecuación diferencial homogenea: \ddot{y}+\omega^{2}y=0 Que ya la hemos resuelto en este enlace  aunque resuelta con la coordenada x, pero eso no va a importar, porque va a ser la misma solución, solo que cambiamos de x a y: y(t)=c_{1}cos(\omega t)+c_{2}sen(\omega t) Para resolver la ecuación diferencial debemos hallar el wronskiano: W(f(t),g(t))=\begin{vmatrix}f(t) & g(t)\\f'(t) & g'(t)\end{vmatrix} Identificamos las funciones f(t)=c_{1}cos(\omega t) y g(t)=c_{2}sen(\omega t), hallamos las derivadas f'(t)=-c_{1}\omega sen(\omega t) y $g'(t)=c_{...

Problema de probabilidad 1

A un mono se le dan 9 bloques: 3 en forma de cuadrados ,3 como rectángulos y 3 como triángulos. si saca tres de cada clase en orden, es decir, tres triángulos, luego la misma cantidad de cuadrados y así sucesivamente. ¿ sospecharía usted que el mono asoció figuras que tengan forma idéntica?. calcule la probabilidad de este evento. Como tenemos 3 figuras, debemos tener en cuenta todas las posibles formas de organizarlas, Luego una forma de representar este orden es de la siguiente manera: Tomamos C como Cuadrado, R como Rectángulo, y T como Triángulo CRT \quad RTC \quad TCR CTR \quad RCT \quad TRC Que corresponden a 6 formas de organizar las tres figuras, este procedimiento se puede representar fácilmente con la operación factorial, para nuestro caso queda definido como: 3!=3 \times 2 \times 1 = 6 Luego por cada vez que el mono saca tres bloques, estos vendrán organizados de 3! formas, y como son 3 tandas de veces que el mono va a sacar cantidades...