¿Cómo solucionar una ecuación diferencial de Ricatti con una solución conocida? 1

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 17 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
La ecuación diferencial a resolver es:
$$\frac{dy}{dx}=e^{2x}+(1+2e^{x})y+y^{2}$$
Con la solución conocida $y_1=-e^{x}$
Identificamos $P(x)=e^{2x}$, $Q(x)=1+2e^{x}$ y $R(x)=1$
Luego la ecuación diferencial con solución conocida $y_1$ es:
$$\frac{dy_1}{dx}=e^{2x}+(1+2e^{x})y_1+y_1^{2}$$
Y la ecuación diferencial a resolver es:
$$\frac{du}{dx}-(1+2e^{x}+(-2e^{x})(1))u=(1)u^{2}$$
Queda:
$$\frac{du}{dx}-u=u^{2}$$
Esta ecuación diferencial se puede convertir en una ecuación diferencial lineal de primer orden en virtud del cambio de variable $w=\frac{1}{u}$:
$$\frac{dw}{dx}+w=-1$$
Calculamos el factor integrante:
$$\mu(x)=e^{\int dx}=e^{x}$$
Multiplicamos por nuestro factor integrante la ecuación diferencial:
$$e^{x}\frac{dw}{dx}+e^{x}w=-e^{x}$$
Los términos de la izquierda se pueden representar como la derivada de un producto de funciones:
$$\frac{d}{dx}(e^{x}w)=-e^{x}$$
Integramos:
$$e^{x}w=-e^{x}+C$$
Deshacemos el cambio de variable y podemos encontrar finalmente la solución a nuestra ecuación diferencial:
$$e^{x}\frac{1}{u}=-e^{x}+C$$
$$u=-1+e^{x}C$$
Por lo tanto la solución a la ecuación diferencial de Ricatti es de la forma:
$$y=y_1+u$$
Así finalmente la solución será:
$$y=-e^{x}-1+e^{x}C$$
$$y=e^{x}(C-1)-1$$