¿Cómo solucionar una ecuación diferencial de Ricatti con una solución conocida? 1

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 17 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
La ecuación diferencial a resolver es:
\[\frac{dy}{dx}=e^{2x}+(1+2e^{x})y+y^{2}\]
Con la solución conocida $y_1=-e^{x}$
Identificamos $P(x)=e^{2x}$, $Q(x)=1+2e^{x}$ y $R(x)=1$
Luego la ecuación diferencial con solución conocida $y_1$ es:
\[\frac{dy_1}{dx}=e^{2x}+(1+2e^{x})y_1+y_1^{2}\]
Y la ecuación diferencial a resolver es:
\[\frac{du}{dx}-(1+2e^{x}+(-2e^{x})(1))u=(1)u^{2}\]
Queda:
\[\frac{du}{dx}-u=u^{2}\]
Esta ecuación diferencial se puede convertir en una ecuación diferencial lineal de primer orden en virtud del cambio de variable $w=\frac{1}{u}$:
\[\frac{dw}{dx}+w=-1\]
Calculamos el factor integrante:
\[\mu(x)=e^{\int dx}=e^{x}\]
Multiplicamos por nuestro factor integrante la ecuación diferencial:
\[e^{x}\frac{dw}{dx}+e^{x}w=-e^{x}\]
Los términos de la izquierda se pueden representar como la derivada de un producto de funciones:
\[\frac{d}{dx}(e^{x}w)=-e^{x}\]
Integramos:
\[e^{x}w=-e^{x}+C\]
Deshacemos el cambio de variable y podemos encontrar finalmente la solución a nuestra ecuación diferencial:
\[e^{x}\frac{1}{u}=-e^{x}+C\]
\[u=-1+e^{x}C\]
Por lo tanto la solución a la ecuación diferencial de Ricatti es de la forma:
\[y=y_1+u\]
Así finalmente la solución será:
\[y=-e^{x}-1+e^{x}C\]
\[y=e^{x}(C-1)-1\]