¿Cómo obtener la solución de la ecuación diferencial de Ricatti con una solución conocida?

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 11 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
La ecuación de Ricatti es una ecuación diferencial no lineal de la forma:
\[\frac{dy}{dx}=P(x)+Q(x)y+R(x)y^{2}\]
Luego si $y_{1}$ es una solución particular conocida de la ecuación de Ricatti, demuestre que $y=y_{1}+u$ es una familia de funciones de la ecuación diferencial de Ricatti, en donde $u$ es la solución de:
\[\frac{du}{dx}-(Q(x)+2y_{1}R(x))u=R(x)u^{2}\]
De acuerdo a la solución $y$ expresada en términos de $y_1$ y $u$, realizamos la derivada a primer orden:
\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy_1}{dx}+\frac{du}{dx}\]
Reemplazamos dicho resultado en la ecuación diferencial de Ricatti:
\[\frac{dy_1}{dx}+\frac{du}{dx}=P(x)+Q(x)(y_1+u)+R(x)(y_1+u)^{2}\]
Desarrollando el binomio al cuadrado del ultimo término y distribuyendo nos queda:
\[\frac{dy_1}{dx}+\frac{du}{dx}=P(x)+Q(x)y_1+Q(x)u+R(x)y_1^{2}+2y_1uR(x)+R(x)u^{2}\]
Pasando los términos con $y_{1}$ a la izquierda y también el término $P(x)$, y pasando el término $\frac{du}{dx}$ a la derecha:
\[\frac{dy_1}{dx}-P(x)-Q(x)y_1-R(x)y_1^{2}=Q(x)u+2y_1uR(x)+R(x)u^{2}-\frac{du}{dx}\]
Los términos de la izquierda corresponden a la ecuación diferencial de Ricatti para $y_1$:
\[\frac{dy_1}{dx}=P(x)+Q(x)y_1+R(x)y_1^{2}\]
Que tiene por solución conocida $y_1$.
Y los términos de la derecha se pueden convertir en una ecuación diferencial de Bernoulli con $n=2$:
\[Q(x)u+2y_1uR(x)+R(x)u^{2}-\frac{du}{dx}=0\]
\[\frac{du}{dx}-(Q(x)+2y_{1}R(x))u=R(x)u^{2}\]
Como se quería demostrar.