En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 11 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
La ecuación de Ricatti es una ecuación diferencial no lineal de la forma:
dydx=P(x)+Q(x)y+R(x)y2
Luego si y1 es una solución particular conocida de la ecuación de Ricatti, demuestre que y=y1+u es una familia de funciones de la ecuación diferencial de Ricatti, en donde u es la solución de:
dudx−(Q(x)+2y1R(x))u=R(x)u2
De acuerdo a la solución y expresada en términos de y1 y u, realizamos la derivada a primer orden:
dydx=dy1dx+dudx
Reemplazamos dicho resultado en la ecuación diferencial de Ricatti:
dy1dx+dudx=P(x)+Q(x)(y1+u)+R(x)(y1+u)2
Desarrollando el binomio al cuadrado del ultimo término y distribuyendo nos queda:
dy1dx+dudx=P(x)+Q(x)y1+Q(x)u+R(x)y21+2y1uR(x)+R(x)u2
Pasando los términos con y1 a la izquierda y también el término P(x), y pasando el término dudx a la derecha:
dy1dx−P(x)−Q(x)y1−R(x)y21=Q(x)u+2y1uR(x)+R(x)u2−dudx
Los términos de la izquierda corresponden a la ecuación diferencial de Ricatti para y1:
dy1dx=P(x)+Q(x)y1+R(x)y21
Que tiene por solución conocida y1.
Y los términos de la derecha se pueden convertir en una ecuación diferencial de Bernoulli con n=2:
Q(x)u+2y1uR(x)+R(x)u2−dudx=0
dudx−(Q(x)+2y1R(x))u=R(x)u2
Como se quería demostrar.
La ecuación de Ricatti es una ecuación diferencial no lineal de la forma:
dydx=P(x)+Q(x)y+R(x)y2
Luego si y1 es una solución particular conocida de la ecuación de Ricatti, demuestre que y=y1+u es una familia de funciones de la ecuación diferencial de Ricatti, en donde u es la solución de:
dudx−(Q(x)+2y1R(x))u=R(x)u2
De acuerdo a la solución y expresada en términos de y1 y u, realizamos la derivada a primer orden:
dydx=dy1dx+dudx
Reemplazamos dicho resultado en la ecuación diferencial de Ricatti:
dy1dx+dudx=P(x)+Q(x)(y1+u)+R(x)(y1+u)2
Desarrollando el binomio al cuadrado del ultimo término y distribuyendo nos queda:
dy1dx+dudx=P(x)+Q(x)y1+Q(x)u+R(x)y21+2y1uR(x)+R(x)u2
Pasando los términos con y1 a la izquierda y también el término P(x), y pasando el término dudx a la derecha:
dy1dx−P(x)−Q(x)y1−R(x)y21=Q(x)u+2y1uR(x)+R(x)u2−dudx
Los términos de la izquierda corresponden a la ecuación diferencial de Ricatti para y1:
dy1dx=P(x)+Q(x)y1+R(x)y21
Que tiene por solución conocida y1.
Y los términos de la derecha se pueden convertir en una ecuación diferencial de Bernoulli con n=2:
Q(x)u+2y1uR(x)+R(x)u2−dudx=0
dudx−(Q(x)+2y1R(x))u=R(x)u2
Como se quería demostrar.
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