Ir al contenido principal

¿Cómo convertir una solución de la ecuación de Ricatti en términos de una ecuación lineal de primer orden?

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 12 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
Nos piden que se convierta la ecuación diferencial:
\[\frac{du}{dx}-(Q(x)+2y_1R(x))u=R(x)u^{2}\]
A una ecuación diferencial lineal; esta ecuación diferencial viene de decir que la ecuación diferencial de Ricatti se puede expresar como la suma de dos funciones $y_1$ y $u$, donde $y_1$  es la solución conocida, y $u$ satisface la ecuación de Bernoulli con $n=2$ que vamos a colocar en términos de una ecuación lineal de primer orden.
Dividimos toda la ecuación diferencial por $u^{2}$:
\[u^{-2}\frac{du}{dx}-(Q(x)+2y_1R(x))u^{-1}=R(x)\]
Realizamos un cambio de variable de la forma $w=u^{-1}$ y su respectiva derivada será $dw=-u^{-2}du$, que para poder realizar el cambio de variable expresamos como $-dw=u^{-2}du$:
\[-\frac{dw}{dx}-(Q(x)+2y_1R(x))w=R(x)\]
Esta ecuación diferencial queda mejor expresada como:
\[\frac{dw}{dx}+(Q(x)+2y_1R(x))w=-R(x)\]
Que corresponde a una ecuación diferencial de primer orden lineal.

Comentarios

Entradas populares de este blog

¿Cómo resolver la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple con gravedad?

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje y, y además está en presencia de la gravedad, su ecuación diferencial es la siguiente: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=g\] Esta es una ecuación diferencial no homogénea y la vamos a resolver por el método de variación de parámetros. Para este método necesitamos resolver la ecuación diferencial homogenea: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=0\] Que ya la hemos resuelto en este enlace  aunque resuelta con la coordenada $x$, pero eso no va a importar, porque va a ser la misma solución, solo que cambiamos de $x$ a $y$: \[y(t)=c_{1}cos(\omega t)+c_{2}sen(\omega t)\] Para resolver la ecuación diferencial debemos hallar el wronskiano: \[W(f(t),g(t))=\begin{vmatrix}f(t) & g(t)\\f'(t) & g'(t)\end{vmatrix}\] Identificamos las funciones $f(t)=c_{1}cos(\omega t)$ y $g(t)=c_{2}sen(\omega t)$, hallamos las derivadas $f'(t)=-c_{1}\omega sen(\omega t)$ y $g'(t)=c_{...

¿Cuál es la integral de sen(2x)?

Nuestra integral a resolver está vez es la siguiente: \[\int sen(2x)dx\] Podemos realizar la siguiente sustitución $u=2x$, $du=2dx$, entonces $\frac{du}{2}=dx$, así la integral nos queda de la forma: \[\frac{1}{2}\int sen(u)du\] Que corresponde a una integral fundamental: \[\frac{1}{2}\int sen(u)du=-\frac{1}{2}cos(u)+C\] Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la respuesta a nuestra integral: \[-\frac{1}{2}cos(2x)+C\]

¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales con factor integrante? 4

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 2.i de ecuaciones con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Resolver cada una de estas ecuaciones hallando un factor integrante: \[(yln(y)-2xy)dx+(x+y)dy=0\] Este libro nos propone hallar de dos formas los factores integrantes: \[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=g(x)\] \[\mu(x)=e^{\int g(x)dx}\] y \[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}=h(y)\] \[\mu(y)=e^{\int h(y)dy}\] Como ambos factores integrantes tienen el mismo numerador, calculamos las derivadas parciales: \[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(yln(y)-2xy)\] \[\frac{\partial M}{\partial y}=ln(y)+1-2x\] \[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x+y)\] \[\frac{\partial N}{\partial x}=1\] Calculamos las funcio...