¿Cómo convertir una solución de la ecuación de Ricatti en términos de una ecuación lineal de primer orden?

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 12 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
Nos piden que se convierta la ecuación diferencial:
$$\frac{du}{dx}-(Q(x)+2y_1R(x))u=R(x)u^{2}$$
A una ecuación diferencial lineal; esta ecuación diferencial viene de decir que la ecuación diferencial de Ricatti se puede expresar como la suma de dos funciones $y_1$ y $u$, donde $y_1$  es la solución conocida, y $u$ satisface la ecuación de Bernoulli con $n=2$ que vamos a colocar en términos de una ecuación lineal de primer orden.
Dividimos toda la ecuación diferencial por $u^{2}$:
$$u^{-2}\frac{du}{dx}-(Q(x)+2y_1R(x))u^{-1}=R(x)$$
Realizamos un cambio de variable de la forma $w=u^{-1}$ y su respectiva derivada será $dw=-u^{-2}du$, que para poder realizar el cambio de variable expresamos como $-dw=u^{-2}du$:
$$-\frac{dw}{dx}-(Q(x)+2y_1R(x))w=R(x)$$
Esta ecuación diferencial queda mejor expresada como:
$$\frac{dw}{dx}+(Q(x)+2y_1R(x))w=-R(x)$$
Que corresponde a una ecuación diferencial de primer orden lineal.