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¿Cómo solucionar una ecuación diferencial de Ricatti con una solución conocida? 2

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 18 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
Nuestra ecuación diferencial a resolver es:
\[\frac{dy}{dx}=sec^{2}(x)-tan(x)y+y^{2}\]
y su solución conocida es $y_1=tan(x)$
Identificamos las funciones $P(x)=sec^{2}(x)$, $Q(x)=-tan(x)$ y $R(x)=1$
Luego la ecuación diferencial con solución conocida $y_1$ es:
\[\frac{dy_1}{dx}=sec^{2}(x)-tan(x)y_1+y_1^{2}\]
Y la ecuación diferencial a resolver es:
\[\frac{du}{dx}-(-tan(x)+2tan(x)(1))u=u^{2}(1)\]
Queda:
\[\frac{du}{dx}-tan(x)u=u^{2}\]
Esta ecuación diferencial se puede convertir a una ecuación diferencial de primer orden lineal en virtud del cambio de variable $w=\frac{1}{u}$:
\[\frac{dw}{dx}+tan(x)w=-1\]
Calculamos el factor integrante:
\[\mu(x)=e^{\int tan(x)dx}\]
De acuerdo a la integral de tangente de x, el factor integrante toma la siguiente forma:
\[\mu(x)=e^{ln(sec(x))}=sec(x)\]
Multiplicamos nuestro factor integrante en la ecuación diferencial:
\[sec(x)\frac{dw}{dx}+sec(x)tan(x)w=-sec(x)\]
Los términos de la izquierda se pueden expresar como la derivada de un producto de funciones:
\[\frac{d}{dx}(sec(x)w)=-sec(x)\]
Integramos y de acuerdo a la integral de secante de x, tenemos la respuesta a nuestra ecuación diferencial:
\[sec(x)w=-ln(sec(x)+tan(x))\]
Por propiedades de logaritmos:
\[sec(x)w=ln(sec(x)+tan(x))^{-1}+C\]
Realizando la suma de las funciones trigonométricas
\[sec(x)w=ln\left(\frac{1+sen(x)}{cos(x)}\right)^{-1}+C\]
\[sec(x)w=ln\left(\frac{cos(x)}{1+sen(x)}\right)+C\]
Deshacemos el cambio de variable y finalmente encontramos la respuesta a nuestra ecuación de Bernoulli, que a su vez complemente la solución de la ecuación diferencial de Ricatti:
\[sec(x)\frac{1}{u}=ln\left(\frac{cos(x)}{1+sen(x)}\right)+C\]
\[u=sec(x)ln\left(\frac{cos(x)}{1+sen(x)}\right)+sec(x)C\]
Y así la solución a la ecuación diferencial de Ricatti es:
\[y=y_1+u\]
\[y=tan(x)+sec(x)ln\left(\frac{cos(x)}{1+sen(x)}\right)+sec(x)C\]


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