Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 17 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación diferencial a resolver es: $$\frac{dy}{dx}=e^{2x}+(1+2e^{x})y+y^{2}$$ Con la solución conocida $y_1=-e^{x}$ Identificamos $P(x)=e^{2x}$, $Q(x)=1+2e^{x}$ y $R(x)=1$ Luego la ecuación diferencial con solución conocida $y_1$ es: $$\frac{dy_1}{dx}=e^{2x}+(1+2e^{x})y_1+y_1^{2}$$ Y la ecuación diferencial a resolver es: $$\frac{du}{dx}-(1+2e^{x}+(-2e^{x})(1))u=(1)u^{2}$$ Queda: $$\frac{du}{dx}-u=u^{2}$$ Esta ecuación diferencial se puede convertir en una ecuación diferencial lineal de primer orden en virtud del cambio de variable $w=\frac{1}{u}$: $$\frac{dw}{dx}+w=-1$$ Calculamos el factor integrante: $$\mu(x)=e^{\int dx}=e^{x}$$ Multiplicamos por nuestro factor integrante la ecuación diferencial: $$e^{x}\frac{dw}{dx}+e^{x}w=-e^{x}$$ Los térmi...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 18 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. Nuestra ecuación diferencial a resolver es: $$\frac{dy}{dx}=sec^{2}(x)-tan(x)y+y^{2}$$ y su solución conocida es $y_1=tan(x)$ Identificamos las funciones $P(x)=sec^{2}(x)$, $Q(x)=-tan(x)$ y $R(x)=1$ Luego la ecuación diferencial con solución conocida $y_1$ es: $$\frac{dy_1}{dx}=sec^{2}(x)-tan(x)y_1+y_1^{2}$$ Y la ecuación diferencial a resolver es: $$\frac{du}{dx}-(-tan(x)+2tan(x)(1))u=u^{2}(1)$$ Queda: $$\frac{du}{dx}-tan(x)u=u^{2}$$ Esta ecuación diferencial se puede convertir a una ecuación diferencial de primer orden lineal en virtud del cambio de variable $w=\frac{1}{u}$: $$\frac{dw}{dx}+tan(x)w=-1$$ Calculamos el factor integrante: $$\mu(x)=e^{\int tan(x)dx}$$ De acuerdo a la integral de tangente de x , el factor integrante toma la siguiente for...

La integral que vamos a resolver es la siguiente: $$\int sec(x)dx$$ Para poder realizar la integral de esta función vamos a multiplicar por $sec(x)+tan(x)$ arriba y abajo, que es equivalente a multiplicar por $1$: $$\int sec(x)\frac{sec(x)+tan(x)}{sec(x)+tan(x)}dx$$ Distribuyendo: $$\int \frac{sec^{2}(x)+sec(x)tan(x)}{sec(x)+tan(x)}dx$$ Luego podemos realizar el siguiente cambio de variable, sí $u=sec(x)+tan(x)$, por lo tanto $du=sec(x)tan(x)+sec^{2}(x)$, por lo tanto nos queda la integral que da como resultado en términos de un logaritmo natural: $$\int \frac{du}{u}=ln(u)+C$$ Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la respuesta a nuestra integral: $$\int sec(x)dx=ln(sec(x)+tan(x))+C$$

La integral que queremos resolver es la siguiente: $$\int tan(x)dx$$ Podemos expresarla de acuerdo a la razón trigonométrica $tan(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}$: $$\int \frac{sen(x)}{cos(x)}dx$$ Podemos hacer una sustitución $u=cos(x)$, $du=-sen(x)$, pasamos el menos al otro lado $-du=sen(x)$ Y nos queda la siguiente integral, que corresponde a un logaritmo natural: $$-\int \frac{du}{u}=-ln(u)+C$$ Que por propiedades de los logaritmos: $$-ln(u)+C=ln(u^{-1})+C$$ Deshacemos el cambio de variable y finalmente encontramos la respuesta a nuestra integral: $$\int tan(x)dx=ln(cos(x)^{-1})+C$$ $$\int tan(x)dx=ln(sec(x))+C$$

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 12 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. Nos piden que se convierta la ecuación diferencial: $$\frac{du}{dx}-(Q(x)+2y_1R(x))u=R(x)u^{2}$$ A una ecuación diferencial lineal; esta ecuación diferencial viene de decir que la ecuación diferencial de Ricatti se puede expresar como la suma de dos funciones $y_1$ y $u$, donde $y_1$  es la solución conocida, y $u$ satisface la ecuación de Bernoulli con $n=2$ que vamos a colocar en términos de una ecuación lineal de primer orden. Dividimos toda la ecuación diferencial por $u^{2}$: $$u^{-2}\frac{du}{dx}-(Q(x)+2y_1R(x))u^{-1}=R(x)$$ Realizamos un cambio de variable de la forma $w=u^{-1}$ y su respectiva derivada será $dw=-u^{-2}du$, que para poder realizar el cambio de variable expresamos como $-dw=u^{-2}du$: $$-\frac{dw}{dx}-(Q(x)+2y_1R(x))w=R(x)$$ Esta ...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 11 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación de Ricatti es una ecuación diferencial no lineal de la forma: $$\frac{dy}{dx}=P(x)+Q(x)y+R(x)y^{2}$$ Luego si $y_{1}$ es una solución particular conocida de la ecuación de Ricatti, demuestre que $y=y_{1}+u$ es una familia de funciones de la ecuación diferencial de Ricatti, en donde $u$ es la solución de: $$\frac{du}{dx}-(Q(x)+2y_{1}R(x))u=R(x)u^{2}$$ De acuerdo a la solución $y$ expresada en términos de $y_1$ y $u$, realizamos la derivada a primer orden: $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy_1}{dx}+\frac{du}{dx}$$ Reemplazamos dicho resultado en la ecuación diferencial de Ricatti: $$\frac{dy_1}{dx}+\frac{du}{dx}=P(x)+Q(x)(y_1+u)+R(x)(y_1+u)^{2}$$ Desarrollando el binomio al cuadrado del ultimo término y distribuyendo nos queda: \[\frac{dy_1}{dx}+\frac{du}{dx}...

La ecuación de Bernoulli es aquella de la forma: $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)y^{n}$$ Que es una ecuación diferencial no lineal de primer orden, que mediante un cambio de variable como se mostrará a continuación se convierte en una ecuación diferencial lineal de primer orden. Si esta ecuación diferencial la dividimos por $y^{n}$ queda: $$y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=f(x)$$ Podemos realizar un cambio de variable $w=y^{1-n}$, donde su derivada es $\frac{dw}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$, que podemos expresar como $\frac{1}{1-n}\frac{dw}{dx}=y^{-n}\frac{dy}{dx}$ para reemplazar en nuestra ecuación diferencial: $$\frac{1}{1-n}\frac{dw}{dx}+P(x)w=f(x)$$ Multiplicando ahora por $(1-n)$ obtenemos la ecuación diferencial lineal: $$\frac{dw}{dx}+(1-n)P(x)w=(1-n)f(x)$$

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 4 de ecuaciones lineales con ecuación de Bernoulli del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. Nuestra ecuación diferencial a solucionar es una  ecuación diferencial de Bernoulli  de la forma: $$x\frac{dy}{dx}-(1+x)y=xy^{2}$$ Dividimos por $x$ y por $y^{2}$: $$\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}-\frac{(1+x)}{x}\frac{1}{y}=1$$ Vemos que podemos realizar el cambio de variable $w=\frac{1}{y}$, y su respectiva derivada $\frac{dw}{dx}=-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}$, o $-\frac{dw}{dx}=\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}$ reemplazamos en nuestra ecuación diferencial: $$-\frac{dw}{dx}-\frac{(1+x)}{x}w=1$$ $$\frac{dw}{dx}+\frac{(1+x)}{x}w=-1$$ Calculamos el factor integrante: $$\mu(x)=e^{\int P(x)dx}$$ Con $P(x)=\frac{(1+x)}{x}$, que también podemos representar mas fácil como $P(x)=\frac{1}{x}+1$, calculamos el factor integrante: \[\mu(x)=e^{\int \left(\frac{1}{...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 2 de ecuaciones lineales con ecuación de Bernoulli del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. Nuestra ecuación diferencial a solucionar es una ecuación diferencial de Bernoulli de la forma: $$\frac{dy}{dx}-y=e^{x}y^{2}$$ Si pasamos a dividir todo por $y^{2}$: $$y^{-2}\frac{dy}{dx}-y^{-1}=e^{x}$$ El cambio de variable que podemos realizar es el siguiente $w=y^{-1}$, y su derivada es $\frac{dw}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}$, el menos pasa al otro lado y tenemos los términos que vamos a reemplazar en nuestra ecuación diferencial: $$-\frac{dw}{dx}-w=e^{x}$$ $$\frac{dw}{dx}+w=-e^{x}$$ Calculamos el factor integrante: $$\mu(x)=e^{\int P(x)dx}$$ Donde la función $P(x)=1$, entonces el factor integrante a encontrar es de la forma: $$\mu(x)=e^{\int dx}=e^{x}$$ Así nuestra ecuación diferencial adquiere la siguiente forma: $$e^{x}\frac{dw}{dx}+e^{x}w=-e^{2x}$$ ...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 4.a de ecuaciones con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Resolver las siguientes ecuaciones usando las fórmulas diferenciales: $$d\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{ydx-xdy}{y^{2}}$$ $$d(xy)=xdy+ydx$$ $$d(x^{2}+y^{2})=2(xdx+ydy)$$ $$d\left(arctg\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{x^{2}+y^{2}}$$ $$d\left(ln\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{xy}$$ Nuestra ecuación diferencial a resolver es: $$(y+x)dy=(y-x)dx$$ Distribuimos y la ecuación diferencial toma la forma: $$ydy+xdy=ydx-xdx$$ Pasamos a restar $ydy$ del lado izquierdo al derecho  y también pasamos a restar $ydx$ del lado derecho al izquierdo $$xdy-ydx=-ydy-xdx$$ Multiplicamos por menos en ambos lados de la  expresión y nos queda: $$ydx-xdy=ydy+xdx$$ Multiplicamos por $\frac{1}{x^{2}+y^{...

Nuestra integral a resolver es la siguiente: $$\int \frac{d(x^{2}+y^{2})}{2(x^{2}+y^{2})}$$ Podemos realizar el siguiente cambio de variable $u=x^{2}+y^{2}$, $du=d(x^{2}+y^{2})$, debido a que este término corresponde con la derivada del denominador, así transformamos esta integral en: $$\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}ln(u)+C$$ Deshacemos el cambio de variable: $$\frac{1}{2}ln(u)+C=\frac{1}{2}ln(x^{2}+y^{2})+C$$ Aplicamos propiedades de logaritmos: $$\frac{1}{2}ln(x^{2}+y^{2})+C=ln(x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{2}}$$ Que corresponde con una raíz cuadrada: $$ln(x^{2}+y^{2})^{frac{1}{2}}=ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}+C$$ Así finalmente tenemos la respuesta a nuestra integral: $$\int \frac{d(x^{2}+y^{2})}{2(x^{2}+y^{2})}=ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}+C$$

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 4.a de ecuaciones con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Resolver las siguientes ecuaciones usando las fórmulas diferenciales: $$d\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{ydx-xdy}{y^{2}}$$ $$d(xy)=xdy+ydx$$ $$d(x^{2}+y^{2})=2(xdx+ydy)$$ $$d\left(arctg\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{x^{2}+y^{2}}$$ $$d\left(ln\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{xy}$$ Nuestra ecuación diferencial a resolver es: $$xdy-ydx=(1+y^{2})dy$$ Que podemos distribuir el segundo término y dejar como: $$xdy-ydx=dy+y^{2}dy$$ Dividiendo por $y^{2}$: $$\frac{x}{y^{2}}dy-\frac{y}{y^{2}}dx=\frac{1}{y^{2}}dy+dy$$ Dónde los dos primeros términos multiplicados por menos, toman la primera forma de nuestras fórmulas diferenciales: $$\frac{-(ydx-xdy)}{y^{2}}=\frac{1}{y^{2}}dy+dy$$ \[-d\left(\fra...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 2.i de ecuaciones con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Resolver cada una de estas ecuaciones hallando un factor integrante: $$(yln(y)-2xy)dx+(x+y)dy=0$$ Este libro nos propone hallar de dos formas los factores integrantes: $$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=g(x)$$ $$\mu(x)=e^{\int g(x)dx}$$ y $$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}=h(y)$$ $$\mu(y)=e^{\int h(y)dy}$$ Como ambos factores integrantes tienen el mismo numerador, calculamos las derivadas parciales: $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(yln(y)-2xy)$$ $$\frac{\partial M}{\partial y}=ln(y)+1-2x$$ $$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x+y)$$ $$\frac{\partial N}{\partial x}=1$$ Calculamos las funcio...