¿Cómo resolver una ecuación diferencial de Bernoulli? 1

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 2 de ecuaciones lineales con ecuación de Bernoulli del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
Nuestra ecuación diferencial a solucionar es una ecuación diferencial de Bernoulli de la forma:
\[\frac{dy}{dx}-y=e^{x}y^{2}\]
Si pasamos a dividir todo por $y^{2}$:
\[y^{-2}\frac{dy}{dx}-y^{-1}=e^{x}\]
El cambio de variable que podemos realizar es el siguiente $w=y^{-1}$, y su derivada es $\frac{dw}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}$, el menos pasa al otro lado y tenemos los términos que vamos a reemplazar en nuestra ecuación diferencial:
\[-\frac{dw}{dx}-w=e^{x}\]
\[\frac{dw}{dx}+w=-e^{x}\]
Calculamos el factor integrante:
\[\mu(x)=e^{\int P(x)dx}\]
Donde la función $P(x)=1$, entonces el factor integrante a encontrar es de la forma:
\[\mu(x)=e^{\int dx}=e^{x}\]
Así nuestra ecuación diferencial adquiere la siguiente forma:
\[e^{x}\frac{dw}{dx}+e^{x}w=-e^{2x}\]
Los primeros términos se pueden representar como una multiplicación de las funciones $e^{x}$ y $w$:
\[\frac{d}{dx}(e^{x}w)=-e^{2x}\]
Integramos:
\[e^{x}w=-\frac{1}{2}e^{2x}+C\]
Deshacemos el cambio de variable $w=y^{-1}$
\[\frac{e^{x}}{y}=-\frac{1}{2}e^{2x}+C\]
Despejamos $y$:
\[\frac{1}{y}=-\frac{1}{2}e^{x}+e^{-x}C\]
\[\frac{1}{y}=e^{x}\left(e^{-2x}C-\frac{1}{2}\right)\]
\[y=\frac{e^{-x}}{\left(e^{-2x}C-\frac{1}{2}\right)}\]
Luego hemos hallado la solución a nuestra ecuación diferencial.