En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 2 de ecuaciones lineales con ecuación de Bernoulli del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
Nuestra ecuación diferencial a solucionar es una ecuación diferencial de Bernoulli de la forma:
dydx−y=exy2
Si pasamos a dividir todo por y2:
y−2dydx−y−1=ex
El cambio de variable que podemos realizar es el siguiente w=y−1, y su derivada es dwdx=−y−2dydx, el menos pasa al otro lado y tenemos los términos que vamos a reemplazar en nuestra ecuación diferencial:
−dwdx−w=ex
dwdx+w=−ex
Calculamos el factor integrante:
μ(x)=e∫P(x)dx
Donde la función P(x)=1, entonces el factor integrante a encontrar es de la forma:
μ(x)=e∫dx=ex
Así nuestra ecuación diferencial adquiere la siguiente forma:
exdwdx+exw=−e2x
Los primeros términos se pueden representar como una multiplicación de las funciones ex y w:
ddx(exw)=−e2x
Integramos:
exw=−12e2x+C
Deshacemos el cambio de variable w=y−1
exy=−12e2x+C
Despejamos y:
1y=−12ex+e−xC
1y=ex(e−2xC−12)
y=e−x(e−2xC−12)
Luego hemos hallado la solución a nuestra ecuación diferencial.
Nuestra ecuación diferencial a solucionar es una ecuación diferencial de Bernoulli de la forma:
dydx−y=exy2
Si pasamos a dividir todo por y2:
y−2dydx−y−1=ex
El cambio de variable que podemos realizar es el siguiente w=y−1, y su derivada es dwdx=−y−2dydx, el menos pasa al otro lado y tenemos los términos que vamos a reemplazar en nuestra ecuación diferencial:
−dwdx−w=ex
dwdx+w=−ex
Calculamos el factor integrante:
μ(x)=e∫P(x)dx
Donde la función P(x)=1, entonces el factor integrante a encontrar es de la forma:
μ(x)=e∫dx=ex
Así nuestra ecuación diferencial adquiere la siguiente forma:
exdwdx+exw=−e2x
Los primeros términos se pueden representar como una multiplicación de las funciones ex y w:
ddx(exw)=−e2x
Integramos:
exw=−12e2x+C
Deshacemos el cambio de variable w=y−1
exy=−12e2x+C
Despejamos y:
1y=−12ex+e−xC
1y=ex(e−2xC−12)
y=e−x(e−2xC−12)
Luego hemos hallado la solución a nuestra ecuación diferencial.
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