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¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales con factor integrante? 5

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 4.a de ecuaciones con factor integrante del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Resolver las siguientes ecuaciones usando las fórmulas diferenciales:
\[d\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{ydx-xdy}{y^{2}}\]
\[d(xy)=xdy+ydx\]
\[d(x^{2}+y^{2})=2(xdx+ydy)\]
\[d\left(arctg\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{x^{2}+y^{2}}\]
\[d\left(ln\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{xy}\]
Nuestra ecuación diferencial a resolver es:
\[xdy-ydx=(1+y^{2})dy\]
Que podemos distribuir el segundo término y dejar como:
\[xdy-ydx=dy+y^{2}dy\]
Dividiendo por $y^{2}$:
\[\frac{x}{y^{2}}dy-\frac{y}{y^{2}}dx=\frac{1}{y^{2}}dy+dy\]
Dónde los dos primeros términos multiplicados por menos, toman la primera forma de nuestras fórmulas diferenciales:
\[\frac{-(ydx-xdy)}{y^{2}}=\frac{1}{y^{2}}dy+dy\]
\[-d\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{y^{2}}dy+dy\]
Integramos y finalmente encontramos la respuesta a nuestra ecuación diferencial:
\[-\int d\left(\frac{x}{y}\right)=\int \frac{1}{y^{2}}dy+\int dy\]
\[-\frac{x}{y}=-\frac{1}{y}+y+C\]
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