¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales con factor integrante? 5

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 4.a de ecuaciones con factor integrante del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Resolver las siguientes ecuaciones usando las fórmulas diferenciales:
$$d\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{ydx-xdy}{y^{2}}$$
$$d(xy)=xdy+ydx$$
$$d(x^{2}+y^{2})=2(xdx+ydy)$$
$$d\left(arctg\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{x^{2}+y^{2}}$$
$$d\left(ln\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{xy}$$
Nuestra ecuación diferencial a resolver es:
$$xdy-ydx=(1+y^{2})dy$$
Que podemos distribuir el segundo término y dejar como:
$$xdy-ydx=dy+y^{2}dy$$
Dividiendo por $y^{2}$:
$$\frac{x}{y^{2}}dy-\frac{y}{y^{2}}dx=\frac{1}{y^{2}}dy+dy$$
Dónde los dos primeros términos multiplicados por menos, toman la primera forma de nuestras fórmulas diferenciales:
$$\frac{-(ydx-xdy)}{y^{2}}=\frac{1}{y^{2}}dy+dy$$
$$-d\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{y^{2}}dy+dy$$
Integramos y finalmente encontramos la respuesta a nuestra ecuación diferencial:
$$-\int d\left(\frac{x}{y}\right)=\int \frac{1}{y^{2}}dy+\int dy$$
$$-\frac{x}{y}=-\frac{1}{y}+y+C$$