¿Cómo resolver una ecuación diferencial de Bernoulli? 2

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 4 de ecuaciones lineales con ecuación de Bernoulli del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
Nuestra ecuación diferencial a solucionar es una ecuación diferencial de Bernoulli de la forma:
\[x\frac{dy}{dx}-(1+x)y=xy^{2}\]
Dividimos por $x$ y por $y^{2}$:
\[\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}-\frac{(1+x)}{x}\frac{1}{y}=1\]
Vemos que podemos realizar el cambio de variable $w=\frac{1}{y}$, y su respectiva derivada $\frac{dw}{dx}=-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}$, o $-\frac{dw}{dx}=\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}$ reemplazamos en nuestra ecuación diferencial:
\[-\frac{dw}{dx}-\frac{(1+x)}{x}w=1\]
\[\frac{dw}{dx}+\frac{(1+x)}{x}w=-1\]
Calculamos el factor integrante:
\[\mu(x)=e^{\int P(x)dx}\]
Con $P(x)=\frac{(1+x)}{x}$, que también podemos representar mas fácil como $P(x)=\frac{1}{x}+1$, calculamos el factor integrante:
\[\mu(x)=e^{\int \left(\frac{1}{x}+1\right)dx}=e^{ln(x)+x}=e^{ln (x)}e^{x}=xe^{x}\]
Luego  nuestra ecuación diferencial toma la forma:
\[xe^{x}\frac{dw}{dx}+(1+x)e^{x}w=-xe^{x}\]
Los dos primeros términos se pueden representar como la derivada de un producto:
\[\frac{d}{dx}[(1+x)e^{x}w]=xe^{x}\]
Integramos, el  término de la derecha se integra fácilmente por partes y tenemos el siguiente resultado:
\[(1+x)e^{x}w=e^{x}(x-1)+C\]
Deshacemos el cambio de variable $w=\frac{1}{y}$
\[(1+x)e^{x}\frac{1}{y}=e^{x}(x-1)+C\]
Despejamos $y$ y encontramos finalmente la solución a nuestro problema:
\[y=\frac{1+x}{(x-1)+Ce^{-x}}\]