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¿Cómo integrar logaritmo natural por sustitución?

Nuestra integral a resolver es la siguiente:
\[\int \frac{d(x^{2}+y^{2})}{2(x^{2}+y^{2})}\]
Podemos realizar el siguiente cambio de variable $u=x^{2}+y^{2}$, $du=d(x^{2}+y^{2})$, debido a que este término corresponde con la derivada del denominador, así transformamos esta integral en:
\[\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}ln(u)+C\]
Deshacemos el cambio de variable:
\[\frac{1}{2}ln(u)+C=\frac{1}{2}ln(x^{2}+y^{2})+C\]
Aplicamos propiedades de logaritmos:
\[\frac{1}{2}ln(x^{2}+y^{2})+C=ln(x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{2}}\]
Que corresponde con una raíz cuadrada:
\[ln(x^{2}+y^{2})^{frac{1}{2}}=ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}+C\]
Así finalmente tenemos la respuesta a nuestra integral:
\[\int \frac{d(x^{2}+y^{2})}{2(x^{2}+y^{2})}=ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}+C\]

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