¿Cómo integrar logaritmo natural por sustitución?

Nuestra integral a resolver es la siguiente:
$$\int \frac{d(x^{2}+y^{2})}{2(x^{2}+y^{2})}$$
Podemos realizar el siguiente cambio de variable $u=x^{2}+y^{2}$, $du=d(x^{2}+y^{2})$, debido a que este término corresponde con la derivada del denominador, así transformamos esta integral en:
$$\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}ln(u)+C$$
Deshacemos el cambio de variable:
$$\frac{1}{2}ln(u)+C=\frac{1}{2}ln(x^{2}+y^{2})+C$$
Aplicamos propiedades de logaritmos:
$$\frac{1}{2}ln(x^{2}+y^{2})+C=ln(x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{2}}$$
Que corresponde con una raíz cuadrada:
$$ln(x^{2}+y^{2})^{frac{1}{2}}=ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}+C$$
Así finalmente tenemos la respuesta a nuestra integral:
$$\int \frac{d(x^{2}+y^{2})}{2(x^{2}+y^{2})}=ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}+C$$